不定积分
第一章 不定积分的概念与性质
1.1 原函数与不定积分
定义：如果在区间 I 上，可导函数 F(x) 的导函数为 f(x)，即对任一 x in I，都有
F’(x) = f(x) quad text{或} quad dF(x) = f(x)dx
则称 F(x) 为 f(x) 在区间 I 上的一个原函数。
不定积分：函数 f(x) 在区间 I 上的全体原函数称为 f(x) 在 I 上的不定积分，记作
int f(x)dx = F(x) + C
其中：
- int 称为积分号
- f(x) 称为被积函数
- f(x)dx 称为被积表达式
- x 称为积分变量
- C 称为积分常数
1.2 不定积分的几何意义
不定积分 int f(x)dx = F(x) + C 表示一族曲线，这族曲线可以由其中任何一条沿 y 轴方向平移而得到。在每条曲线上横坐标相同的点处，切线互相平行。
例题：求过点 (1, 2)，且斜率为 2x 的曲线方程。
解：
由题意，y’ = 2x，则
y = int 2xdx = x^2 + C
代入点 (1, 2)：2 = 1^2 + C，得 C = 1
∴ 曲线方程为 y = x^2 + 1
1.3 不定积分的性质
微分与积分互逆：
frac{d}{dx}left[int f(x)dxright] = f(x)
int F’(x)dx = F(x) + C
线性性质：
int [k_1 f(x) + k_2 g(x)]dx = k_1 int f(x)dx + k_2 int g(x)dx
其中 k_1, k_2 为常数
第二章 基本积分公式
掌握基本积分公式是计算不定积分的基础。
2.1 基本积分表
- int kdx = kx + C （k 为常数）
- int x^alpha dx = frac{x^{alpha+1}}{alpha+1} + C （alpha neq -1）
- int frac{1}{x}dx = ln|x| + C
- int a^x dx = frac{a^x}{ln a} + C （a > 0, a neq 1）
- int e^x dx = e^x + C
- int sin xdx = -cos x + C
- int cos xdx = sin x + C
- int sec^2 xdx = tan x + C
- int csc^2 xdx = -cot x + C
- int sec x tan xdx = sec x + C
- int csc x cot xdx = -csc x + C
- int frac{1}{sqrt{1-x^2}}dx = arcsin x + C
- int frac{1}{1+x^2}dx = arctan x + C
2.2 直接积分法
利用基本积分公式和线性性质直接计算积分。
例题1：求 int (3x^2 - 2x + 1)dx
解：
int (3x^2 - 2x + 1)dx = 3 cdot frac{x^3}{3} - 2 cdot frac{x^2}{2} + x + C = x^3 - x^2 + x + C
例题2：求 int frac{x^2 + 1}{x}dx
解：
int frac{x^2 + 1}{x}dx = int left(x + frac{1}{x}right)dx = frac{x^2}{2} + ln|x| + C
例题3：求 int (2^x + 3e^x)dx
解：
int (2^x + 3e^x)dx = frac{2^x}{ln 2} + 3e^x + C
第三章 换元积分法
换元积分法是不定积分计算中最重要的方法之一。
3.1 第一类换元法（凑微分法）
定理：设 int f(u)du = F(u) + C，且 u = varphi(x) 可导，则
int f[varphi(x)]varphi’(x)dx = F[varphi(x)] + C
常用凑微分形式：
- int f(ax + b)dx = frac{1}{a} int f(ax + b)d(ax + b)
- int f(ax^n + b)x^{n-1}dx = frac{1}{na} int f(ax^n + b)d(ax^n + b)
- int f(e^x)e^xdx = int f(e^x)de^x
- int f(ln x)frac{1}{x}dx = int f(ln x)d(ln x)
- int f(sin x)cos xdx = int f(sin x)d(sin x)
- int f(cos x)sin xdx = -int f(cos x)d(cos x)
例题1：求 int cos(2x + 1)dx
解：
int cos(2x + 1)dx = frac{1}{2} int cos(2x + 1)d(2x + 1) = frac{1}{2} sin(2x + 1) + C
例题2：求 int frac{1}{x ln x}dx
解：
int frac{1}{x ln x}dx = int frac{1}{ln x} cdot frac{1}{x}dx = int frac{1}{ln x}d(ln x) = ln|ln x| + C
例题3：求 int frac{e^x}{1 + e^{2x}}dx
解：
int frac{e^x}{1 + e^{2x}}dx = int frac{1}{1 + (e^x)^2}de^x = arctan(e^x) + C
3.2 第二类换元法
当被积函数含有根式时，常用第二类换元法。
3.2.1 三角代换
- 含 sqrt{a^2 - x^2}，令 x = asin t
- 含 sqrt{a^2 + x^2}，令 x = atan t
- 含 sqrt{x^2 - a^2}，令 x = asec t
例题：求 int frac{dx}{sqrt{a^2 - x^2}} （a > 0）
解：
令 x = asin t，则 dx = acos tdt，sqrt{a^2 - x^2} = acos t
int frac{dx}{sqrt{a^2 - x^2}} = int frac{acos t}{acos t}dt = int dt = t + C = arcsinfrac{x}{a} + C
3.2.2 根式代换
例题：求 int frac{dx}{1 + sqrt{x}}
解：
令 sqrt{x} = t，则 x = t^2，dx = 2tdt
begin{aligned}
int frac{dx}{1 + sqrt{x}} &= int frac{2t}{1 + t}dt = 2int frac{t + 1 - 1}{1 + t}dt
&= 2int left(1 - frac{1}{1 + t}right)dt = 2(t - ln|1 + t|) + C
&= 2(sqrt{x} - ln|1 + sqrt{x}|) + C
end{aligned}
第四章 分部积分法
分部积分法适用于被积函数是两种不同类型函数乘积的情况。
4.1 分部积分公式
int udv = uv - int vdu
或
int u(x)v’(x)dx = u(x)v(x) - int u’(x)v(x)dx
4.2 选取 u 的原则（LIATE法则）
按优先级选择 u：
- L：对数函数（Logarithmic）
- I：反三角函数（Inverse trigonometric）
- A：代数函数（Algebraic）
- T：三角函数（Trigonometric）
- E：指数函数（Exponential）
例题1：求 int x e^x dx
解：
令 u = x，dv = e^x dx，则 du = dx，v = e^x
int x e^x dx = x e^x - int e^x dx = x e^x - e^x + C = (x - 1)e^x + C
例题2：求 int x sin x dx
解：
令 u = x，dv = sin x dx，则 du = dx，v = -cos x
int x sin x dx = -x cos x - int (-cos x)dx = -x cos x + sin x + C
例题3：求 int ln x dx
解：
令 u = ln x，dv = dx，则 du = frac{1}{x}dx，v = x
int ln x dx = x ln x - int x cdot frac{1}{x}dx = x ln x - x + C
例题4：求 int e^x sin x dx（循环积分）
解：
令 I = int e^x sin x dx
第一次分部积分：令 u = sin x，dv = e^x dx
I = e^x sin x - int e^x cos x dx
第二次分部积分：对 int e^x cos x dx，令 u = cos x，dv = e^x dx
int e^x cos x dx = e^x cos x + int e^x sin x dx = e^x cos x + I
代入：
I = e^x sin x - (e^x cos x + I)
2I = e^x (sin x - cos x)
I = frac{1}{2} e^x (sin x - cos x) + C
第五章 有理函数的积分
5.1 有理函数的分解
有理函数 frac{P(x)}{Q(x)}（P(x)、Q(x) 为多项式）的积分步骤：
- 如果分子次数 ≥ 分母次数，先用多项式除法
- 对真分式进行部分分式分解
- 分别积分
5.2 部分分式分解
例题：求 int frac{x + 3}{x^2 - 5x + 6}dx
解：
首先分解分母：x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
设 frac{x + 3}{x^2 - 5x + 6} = frac{A}{x - 2} + frac{B}{x - 3}
通分：x + 3 = A(x - 3) + B(x - 2)
令 x = 2：5 = -A，得 A = -5
令 x = 3：6 = B，得 B = 6
begin{aligned}
int frac{x + 3}{x^2 - 5x + 6}dx &= int left(frac{-5}{x - 2} + frac{6}{x - 3}right)dx
&= -5ln|x - 2| + 6ln|x - 3| + C
end{aligned}
第六章 三角函数积分
6.1 三角恒等式的应用
常用恒等式：
- sin^2 x + cos^2 x = 1
- 1 + tan^2 x = sec^2 x
- sin^2 x = frac{1 - cos 2x}{2}
- cos^2 x = frac{1 + cos 2x}{2}
- sin x cos x = frac{1}{2} sin 2x
例题1：求 int sin^2 x dx
解：
int sin^2 x dx = int frac{1 - cos 2x}{2}dx = frac{1}{2}x - frac{1}{4}sin 2x + C
例题2：求 int sin^3 x dx
解：
begin{aligned}
int sin^3 x dx &= int sin^2 x cdot sin xdx = int (1 - cos^2 x)sin xdx
&= -int (1 - cos^2 x)d(cos x) = -cos x + frac{1}{3}cos^3 x + C
end{aligned}
6.2 万能公式代换
对于 int R(sin x, cos x)dx 型积分，有时可用万能公式：
令 t = tanfrac{x}{2}，则
sin x = frac{2t}{1 + t^2}, quad cos x = frac{1 - t^2}{1 + t^2}, quad dx = frac{2}{1 + t^2}dt
第七章 典型例题解析
例题1：综合换元
求 int frac{dx}{xsqrt{x^2 - 1}}
解：
令 x = sec t，则 dx = sec t tan tdt
begin{aligned}
int frac{dx}{xsqrt{x^2 - 1}} &= int frac{sec t tan t}{sec t cdot tan t}dt = int dt = t + C
&= arccosfrac{1}{x} + C = arcsec|x| + C
end{aligned}
例题2：分部积分的递推
求 I_n = int tan^n x dx 的递推公式
解：
begin{aligned}
I_n &= int tan^{n-2} x cdot tan^2 xdx = int tan^{n-2} x (sec^2 x - 1)dx
&= int tan^{n-2} x sec^2 xdx - int tan^{n-2} xdx
&= frac{tan^{n-1} x}{n-1} - I_{n-2}
end{aligned}
例题3：有理函数积分
求 int frac{2x + 1}{x^2 + 2x + 5}dx
解：
分母配方：x^2 + 2x + 5 = (x + 1)^2 + 4
分子拆分：2x + 1 = 2(x + 1) - 1
begin{aligned}
int frac{2x + 1}{x^2 + 2x + 5}dx &= int frac{2(x + 1)}{(x + 1)^2 + 4}dx - int frac{1}{(x + 1)^2 + 4}dx
&= ln[(x + 1)^2 + 4] - frac{1}{2}arctanfrac{x + 1}{2} + C
end{aligned}
本章小结
| 知识点 | 核心内容 | 考查重点 |
|---|---|---|
| 基本概念 | 原函数、不定积分 | 概念理解、几何意义 |
| 基本公式 | 基本积分表 | 直接积分计算 |
| 换元法 | 第一类换元、第二类换元 | 凑微分、三角代换、根式代换 |
| 分部积分 | 分部积分公式、LIATE法则 | 选择u、循环积分 |
| 特殊类型 | 有理函数、三角函数 | 部分分式、三角恒等式 |
备考建议
- 熟记公式：熟练掌握基本积分公式
- 灵活运用：根据被积函数特点选择合适方法
- 多练习：不定积分需要大量练习培养感觉
- 验证结果：对结果求导验证是否正确
- 总结规律：整理常见题型的解题规律
本文为专升本高等数学系列第四篇，微积分的重要内容
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