函数与极限

📚 高等数学核心知识点

本章系统讲解函数的基本概念、性质，极限的定义与计算方法，以及函数连续性的判断准则，是微积分的基础内容，也是专升本考试的重点考查模块。

第一章函数

1.1 函数的概念

定义：设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数集。如果对于每个数 x ∈ D，变量 y 按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y = f(x)。

定义域：D 称为函数的定义域
值域：函数值的集合 {y | y = f(x), x ∈ D} 称为函数的值域

1.2 函数的性质

1.2.1 奇偶性

奇函数：，图像关于原点对称
偶函数：，图像关于 y 轴对称

例题：判断

³

的奇偶性

解：

$³ ³ ³$
∴ 是奇函数

1.2.2 单调性

单调递增： $₁ ₂ ₁ ₂$
单调递减： $₁ ₂ ₁ ₂$

1.2.3 周期性

存在正数 T，使得对定义域内任意 x 都成立。

1.3 基本初等函数

1. 幂函数：

ᵃ

（a 为实数）

2. 指数函数：

ˣ

（

）

3. 对数函数：

ₐ

（

）

4. 三角函数：

等

5. 反三角函数：

等

第二章极限

2.1 极限的概念

2.1.1 数列极限

当 n 无限增大时，无限趋近于常数 A。

2.1.2 函数极限

$₀$ 时的极限：
时的极限：
注意是 x 无限接近，但不等于。

2.2 极限的运算法则

设，，则：

（）
（c 为常数）

2.3 重要极限

第一个重要极限

例题：求

解：

第二个重要极限

推广形式：

例题：求

解：

2.4 无穷小量与无穷大量

无穷小量的比较

设 α, β 是同一极限过程中的无穷小量：

高阶无穷小：，记作
同阶无穷小：
等价无穷小：，记作

常用等价无穷小（当

时）：

$²$
$ˣ$

第三章函数的连续性

3.1 连续性的定义

函数在点 $₀$ 处连续，需满足三个条件：

$₀$ 有定义
存在

3.2 间断点的分类

3.2.1 第一类间断点

左右极限都存在但不相等，或相等但不等于函数值。

例题：讨论

在

处的连续性

解：

左右极限存在但不相等，∴ 是第一类间断点（跳跃间断点）

3.2.2 第二类间断点

左右极限至少有一个不存在。

3.3 闭区间上连续函数的性质

有界性定理：闭区间上的连续函数在该区间上有界

最值定理：闭区间上的连续函数在该区间上能取得最大值和最小值

介值定理：闭区间上的连续函数可以取得介于最小值和最大值之间的任何值

第四章典型例题解析

例题1：求极限

求

解：

例题2：判断连续性

讨论函数

在处的连续性

解：

∵
∴ 函数在处连续

本章小结

知识点	核心内容	考查重点
函数概念	定义域、值域、对应关系	求定义域、判断函数关系
函数性质	奇偶性、单调性、周期性	性质判断和应用
极限计算	运算法则、重要极限、等价无穷小	各种求极限方法
连续性	连续定义、间断点分类	连续性判断、间断点类型

备考建议

掌握基本概念：理解函数、极限、连续的严格定义
熟练计算方法：多做极限计算的练习题
注重应用：理解极限思想在微积分中的基础地位
总结归纳：整理常见题型和解题方法

本文为专升本高等数学复习资料，建议结合教材和真题进行学习
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💡 学习提示：微分方程是微积分的综合应用，连接着数学理论和实际问题。学习时要注重类型识别，掌握每类方程的解法特征。应用题的难点在于建立正确的数学模型，建议从物理、几何等经典问题入手培养建模能力。