向量代数与空间解析几何

第一章向量及其线性运算

1.1 向量的概念

向量：既有大小又有方向的量称为向量（或矢量）。

表示方法：

几何表示：有向线段 \overrightarrow{AB}，A 为起点，B 为终点
代数表示：\vec{a}，\vec{b}，\vec{c} 或粗体 \mathbf{a}，\mathbf{b}，\mathbf{c}

向量的模：向量的大小，记作 |\vec{a}|

单位向量：模为 1 的向量

零向量：模为 0 的向量，记作 \vec{0}，方向任意

1.2 向量的线性运算

1.2.1 向量的加法

三角形法则：\vec{a} + \vec{b} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}

平行四边形法则：以 \vec{a}、\vec{b} 为邻边作平行四边形，对角线为和向量

运算律：

交换律：\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}
结合律：(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})

1.2.2 向量的减法

\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})

1.2.3 数与向量的乘法

设 \lambda 为实数，\vec{a} 为向量，则 \lambda\vec{a} 是一个向量：

|\lambda\vec{a}| = |\lambda| \cdot |\vec{a}|
当 \lambda > 0 时，\lambda\vec{a} 与 \vec{a} 同向
当 \lambda < 0 时，\lambda\vec{a} 与 \vec{a} 反向

运算律：

\lambda(\mu\vec{a}) = (\lambda\mu)\vec{a}
(\lambda + \mu)\vec{a} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{a}
\lambda(\vec{a} + \vec{b}) = \lambda\vec{a} + \lambda\vec{b}

1.3 空间直角坐标系

在空间取定一点 O（原点）和三个两两垂直的单位向量 \vec{i}、\vec{j}、\vec{k}（基向量），就建立了空间直角坐标系 Oxyz。

坐标表示：任意向量 \vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}，记作 \vec{a} = (a_x, a_y, a_z)

向量的模：|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}

方向余弦：向量 \vec{a} 与坐标轴的夹角 \alpha、\beta、\gamma 的余弦：

\cos\alpha = \frac{a_x}{|\vec{a}|}, \quad \cos\beta = \frac{a_y}{|\vec{a}|}, \quad \cos\gamma = \frac{a_z}{|\vec{a}|}

且 \cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1

例题：已知点 A(1, 2, 3)，B(4, 6, 9)，求向量 \overrightarrow{AB} 的模和方向余弦。

解：
\overrightarrow{AB} = (4-1, 6-2, 9-3) = (3, 4, 6)
模：|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 16 + 36} = \sqrt{61}
方向余弦：

\cos\alpha = \frac{3}{\sqrt{61}}, \quad \cos\beta = \frac{4}{\sqrt{61}}, \quad \cos\gamma = \frac{6}{\sqrt{61}}

第二章数量积、向量积、混合积

2.1 两向量的数量积（点积）

定义：\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta，其中 \theta 是 \vec{a} 与 \vec{b} 的夹角

坐标表示：设 \vec{a} = (a_x, a_y, a_z)，\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)，则

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z

性质：

交换律：\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}
分配律：\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}
\lambda(\vec{a} \cdot \vec{b}) = (\lambda\vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (\lambda\vec{b})

应用：

求夹角：\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}
判断垂直：\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0

例题：已知 \vec{a} = (1, 2, 2)，\vec{b} = (2, 1, -2)，求它们的夹角。

解：
\vec{a} \cdot \vec{b} = 1\times2 + 2\times1 + 2\times(-2) = 2 + 2 - 4 = 0
∴ \vec{a} \perp \vec{b}，夹角为 90^\circ

2.2 两向量的向量积（叉积）

定义：\vec{a} \times \vec{b} 是一个向量：

大小：|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\theta
方向：垂直于 \vec{a} 和 \vec{b} 所在平面，符合右手法则

坐标表示：

\vec{a} \times \vec{b} =

= (a_y b_z - a_z b_y)\vec{i} + (a_z b_x - a_x b_z)\vec{j} + (a_x b_y - a_y b_x)\vec{k}

性质：

反交换律：\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}
分配律：\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}
\lambda(\vec{a} \times \vec{b}) = (\lambda\vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (\lambda\vec{b})

应用：

求法向量
求平行四边形面积：S = |\vec{a} \times \vec{b}|
判断平行：\vec{a} \parallel \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}

例题：已知 \vec{a} = (1, 0, 1)，\vec{b} = (0, 1, 1)，求 \vec{a} \times \vec{b}。

解：

\vec{a} \times \vec{b} =

= (0\times1 - 1\times1)\vec{i} - (1\times1 - 1\times0)\vec{j} + (1\times1 - 0\times0)\vec{k}
= (-1, -1, 1)

2.3 三向量的混合积

定义：[\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}

坐标表示：

[\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] =

几何意义：|[\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}]| 表示以 \vec{a}、\vec{b}、\vec{c} 为棱的平行六面体的体积

性质：

[\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = [\vec{b} \ \vec{c} \ \vec{a}] = [\vec{c} \ \vec{a} \ \vec{b}]
[\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = -[\vec{b} \ \vec{a} \ \vec{c}]
三向量共面 \Leftrightarrow [\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = 0

例题：判断点 A(1,0,1)，B(2,1,0)，C(0,1,1)，D(1,1,1) 是否共面。

解：
\overrightarrow{AB} = (1,1,-1)，\overrightarrow{AC} = (-1,1,0)，\overrightarrow{AD} = (0,1,0)
混合积：

= 1\times - 1\times + (-1)\times
= 0 - 0 + (-1)\times(-1) = 1 \neq 0

∴ 四点不共面

第三章平面及其方程

3.1 平面的点法式方程

已知平面 \pi 过点 M_0(x_0, y_0, z_0)，且法向量 \vec{n} = (A, B, C)，则平面方程为：

A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0

例题：求过点 M(1,2,3) 且以 \vec{n} = (2,-1,1) 为法向量的平面方程。

解：
2(x-1) -1(y-2) + 1(z-3) = 0
整理得：2x - y + z - 3 = 0

3.2 平面的一般式方程

一般式：Ax + By + Cz + D = 0 （A,B,C 不全为零）

特殊位置的平面：

过原点：D = 0
平行于 x 轴：A = 0
垂直于 x 轴：B = C = 0（平面 x = 常数）
坐标平面：x=0（yOz 平面），y=0（xOz 平面），z=0（xOy 平面）

3.3 平面的截距式方程

平面在坐标轴上的截距分别为 a、b、c（均不为零），则方程为：

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

例题：求在 x、y、z 轴上的截距分别为 2、3、4 的平面方程。

解：
\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1
乘以 12 得：6x + 4y + 3z = 12

3.4 两平面的夹角

两平面 \pi_1: A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0，\pi_2: A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0

法向量：\vec{n}_1 = (A_1, B_1, C_1)，\vec{n}_2 = (A_2, B_2, C_2)

夹角公式：

\cos\theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|} = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2} \sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}

位置关系：

平行：\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}
垂直：A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0

例题：求平面 x + 2y - z + 1 = 0 与 2x - y + 3z - 2 = 0 的夹角。

解：
\vec{n}_1 = (1,2,-1)，\vec{n}_2 = (2,-1,3)
\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 1\times2 + 2\times(-1) + (-1)\times3 = 2 - 2 - 3 = -3
|\vec{n}_1| = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}，|\vec{n}_2| = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}
\cos\theta = \frac{|-3|}{\sqrt{6}\sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{84}} = \frac{\sqrt{21}}{14}
\theta = \arccos\frac{\sqrt{21}}{14}

第四章空间直线及其方程

4.1 空间直线的点向式方程

已知直线 L 过点 M_0(x_0, y_0, z_0)，且方向向量 \vec{s} = (l, m, n)，则直线方程为：

\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}

例题：求过点 (1,2,3) 且方向向量为 (2,-1,1) 的直线方程。

解：
\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{1}

4.2 空间直线的一般式方程

直线可看作两平面的交线：

方向向量：\vec{s} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2

4.3 空间直线的参数式方程

\quad t \in \mathbb{R}

4.4 两直线的夹角

两直线 L_1、L_2 的方向向量分别为 \vec{s}_1 = (l_1, m_1, n_1)，\vec{s}_2 = (l_2, m_2, n_2)

夹角公式：

\cos\varphi = \frac{|\vec{s}_1 \cdot \vec{s}_2|}{|\vec{s}_1| |\vec{s}_2|} = \frac{|l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2|}{\sqrt{l_1^2+m_1^2+n_1^2} \sqrt{l_2^2+m_2^2+n_2^2}}

位置关系：

平行：\frac{l_1}{l_2} = \frac{m_1}{m_2} = \frac{n_1}{n_2}
垂直：l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = 0

4.5 直线与平面的夹角

直线 L 的方向向量 \vec{s} = (l, m, n)，平面 \pi 的法向量 \vec{n} = (A, B, C)

夹角公式：

\sin\varphi = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| |\vec{n}|} = \frac{|Al + Bm + Cn|}{\sqrt{l^2+m^2+n^2} \sqrt{A^2+B^2+C^2}}

位置关系：

直线在平面上：\vec{s} \cdot \vec{n} = 0 且直线上有一点在平面上
直线与平面平行：\vec{s} \cdot \vec{n} = 0 但直线上没有点在平面上
直线与平面垂直：\vec{s} \parallel \vec{n}

第五章曲面与空间曲线

5.1 曲面方程的概念

如果曲面 S 与方程 F(x,y,z) = 0 有下述关系：

曲面 S 上任一点的坐标都满足方程
不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程

则称 F(x,y,z) = 0 为曲面 S 的方程。

5.2 旋转曲面

一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。

生成规则：

yOz 平面上的曲线 f(y,z) = 0 绕 z 轴旋转：f(\pm\sqrt{x^2+y^2}, z) = 0
yOz 平面上的曲线 f(y,z) = 0 绕 y 轴旋转：f(y, \pm\sqrt{x^2+z^2}) = 0

例题：yOz 平面上的直线 z = y 绕 z 轴旋转，求旋转曲面方程。

解：
将 y 换成 \pm\sqrt{x^2+y^2} 得：z = \pm\sqrt{x^2+y^2}
即 z^2 = x^2 + y^2（圆锥面）

5.3 柱面

平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 形成的轨迹称为柱面。

特征：方程中缺少某个变量

F(x,y) = 0：母线平行于 z 轴
F(x,z) = 0：母线平行于 y 轴
F(y,z) = 0：母线平行于 x 轴

例题：x^2 + y^2 = R^2 表示圆柱面

5.4 二次曲面

5.4.1 椭球面

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1

5.4.2 单叶双曲面

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1

5.4.3 双叶双曲面

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1

5.4.4 椭圆抛物面

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = z

5.4.5 双曲抛物面（马鞍面）

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = z

5.5 空间曲线方程

5.5.1 一般式方程

5.5.2 参数式方程

\quad \alpha \leq t \leq \beta

例题：螺旋线

\quad t \in \mathbb{R}

第六章典型例题解析

例题1：点到平面的距离

求点 P(1,2,3) 到平面 2x - y + 2z - 6 = 0 的距离。

解：
点 P(x_0,y_0,z_0) 到平面 Ax+By+Cz+D=0 的距离公式：

d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

代入：

d = \frac{|2\times1 - 1\times2 + 2\times3 - 6|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{|2-2+6-6|}{3} = 0

点在平面上。

例题2：异面直线的距离

求直线 L_1: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{1} 与 L_2: \frac{x}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-1}{-1} 之间的距离。

解：
L_1 过点 P_1(1,0,-1)，方向向量 \vec{s}_1 = (1,2,1)
L_2 过点 P_2(0,-1,1)，方向向量 \vec{s}_2 = (2,1,-1)

公垂线方向向量：\vec{n} = \vec{s}_1 \times \vec{s}_2 =
= (-3, 3, -3)

距离：

d = \frac{|(\overrightarrow{P_1P_2} \cdot \vec{n})|}{|\vec{n}|} = \frac{|(-1,-1,2) \cdot (-3,3,-3)|}{\sqrt{9+9+9}} = \frac{|3-3-6|}{\sqrt{27}} = \frac{6}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}

例题3：投影问题

求点 P(1,2,3) 在平面 x+y+z=1 上的投影。

解：
过点 P 作平面的垂线，方向向量为平面的法向量 \vec{n} = (1,1,1)
垂线方程：

\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{1} = t

参数式：x=1+t，y=2+t，z=3+t
代入平面方程：(1+t)+(2+t)+(3+t)=1 \Rightarrow 6+3t=1 \Rightarrow t=-\frac{5}{3}
投影点：x=1-\frac{5}{3}=-\frac{2}{3}，y=2-\frac{5}{3}=\frac{1}{3}，z=3-\frac{5}{3}=\frac{4}{3}
∴ 投影点为 \left(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{4}{3}\right)

本章小结

知识点	核心内容	考查重点
向量运算	线性运算、数量积、向量积、混合积	坐标计算、几何应用
平面方程	点法式、一般式、截距式	求平面方程、位置关系
直线方程	点向式、一般式、参数式	求直线方程、位置关系
曲面曲线	旋转曲面、柱面、二次曲面	识别曲面类型、求方程
度量关系	距离、夹角、投影	公式应用、综合计算

备考建议

掌握基本概念：理解向量、平面、直线的几何意义
熟练公式应用：各种距离公式、夹角公式要熟练掌握
注重空间想象：培养空间想象能力，理解图形关系
分类整理：对各种曲面曲线进行分类记忆
综合训练：多做综合性较强的应用题

本文为专升本高等数学系列第七篇，空间几何的重要内容
下一篇：多元函数微分法及其应用

📚 专升本数学系列：
1. 函数与极限
2. 导数与微分
3. 微分中值定理与导数的应用
4. 不定积分
5. 定积分及其应用
6. 微分方程
7. 向量代数与空间解析几何
8. 下一章：多元函数微分法及其应用

💡 学习提示：向量代数与空间解析几何是连接初等数学和高等数学的桥梁，需要较强的空间想象能力。建议在学习时多画图辅助理解，掌握各种几何关系的代数表示方法。向量的各种运算要熟练，这是后续学习多元微积分的基础。

第一章 向量及其线性运算

1.1 向量的概念

1.2 向量的线性运算

1.2.1 向量的加法

1.2.2 向量的减法

1.2.3 数与向量的乘法

1.3 空间直角坐标系

第二章 数量积、向量积、混合积

2.1 两向量的数量积（点积）

2.2 两向量的向量积（叉积）

2.3 三向量的混合积

第三章 平面及其方程

3.1 平面的点法式方程

3.2 平面的一般式方程

3.3 平面的截距式方程

3.4 两平面的夹角

第四章 空间直线及其方程

4.1 空间直线的点向式方程

4.2 空间直线的一般式方程

4.3 空间直线的参数式方程

4.4 两直线的夹角

4.5 直线与平面的夹角

第五章 曲面与空间曲线

5.1 曲面方程的概念

5.2 旋转曲面

5.3 柱面

5.4 二次曲面

5.4.1 椭球面

5.4.2 单叶双曲面

5.4.3 双叶双曲面

5.4.4 椭圆抛物面

5.4.5 双曲抛物面（马鞍面）

5.5 空间曲线方程

5.5.1 一般式方程

5.5.2 参数式方程

第六章 典型例题解析

例题1：点到平面的距离

例题2：异面直线的距离

例题3：投影问题

本章小结

备考建议

第一章向量及其线性运算

第二章数量积、向量积、混合积

第三章平面及其方程

第四章空间直线及其方程

第五章曲面与空间曲线

第六章典型例题解析