多元函数微分法及其应用
第一章 多元函数的基本概念
1.1 平面点集
邻域：点 P_0(x_0, y_0) 的 delta 邻域
U(P_0, delta) = {(x,y) | sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < delta}
区域：
- 开集：点点都是内点
- 闭集：包含所有边界点
- 区域：连通的开集
- 闭区域：区域连同它的边界
1.2 多元函数的概念
定义：设 D 是 R^2 的一个非空子集，如果对于 D 中每一点 P(x,y)，变量 z 按照某种对应法则 f 总有唯一确定的数值和它对应，则称 f 是定义在 D 上的二元函数，记作
z = f(x,y), quad (x,y) in D
类似地可以定义三元函数 u = f(x,y,z) 等。
定义域：使函数有意义的点的集合
值域：函数值的集合
例题：求函数 z = ln(x+y-1) + sqrt{4-x^2-y^2} 的定义域。
解：
需满足：
begin{cases}
x + y - 1 > 0
4 - x^2 - y^2 geq 0
end{cases}
Rightarrow
begin{cases}
x + y > 1
x^2 + y^2 leq 4
end{cases}
定义域为圆 x^2 + y^2 leq 4 内且在直线 x+y=1 上方的部分。
1.3 多元函数的极限
定义：设函数 z = f(x,y) 在点 P_0(x_0, y_0) 的某去心邻域内有定义，如果存在常数 A，对于任意给定的 varepsilon > 0，总存在 delta > 0，使得当 0 < sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < delta 时，都有
|f(x,y) - A| < varepsilon
则称 A 为函数 f(x,y) 当 (x,y) to (x_0,y_0) 时的极限，记作
lim_{(x,y)to(x_0,y_0)} f(x,y) = A
注意：二元函数的极限要求点 P(x,y) 以任何方式趋于 P_0(x_0,y_0) 时，函数值都趋于 A。
例题：证明 limlimits_{(x,y)to(0,0)} frac{xy}{x^2 + y^2} 不存在。
证明：
沿直线 y = kx 趋于 (0,0)：
lim_{xto0} frac{xcdot kx}{x^2 + k^2x^2} = lim_{xto0} frac{kx^2}{(1+k^2)x^2} = frac{k}{1+k^2}
该极限值随 k 变化而变化，所以极限不存在。
1.4 多元函数的连续性
定义：设函数 z = f(x,y) 在点 P_0(x_0, y_0) 的某邻域内有定义，如果
lim_{(x,y)to(x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0,y_0)
则称函数 f(x,y) 在点 P_0 处连续。
性质：
- 多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍连续
- 多元连续函数的复合函数仍连续
- 多元初等函数在其定义区域内连续
第二章 偏导数
2.1 偏导数的定义
定义：设函数 z = f(x,y) 在点 (x_0,y_0) 的某邻域内有定义，当 y 固定在 y_0 而 x 在 x_0 处有增量 Delta x 时，相应的函数增量
Delta_x z = f(x_0 + Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)
如果极限
lim_{Delta x to 0} frac{Delta_x z}{Delta x} = lim_{Delta x to 0} frac{f(x_0 + Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{Delta x}
存在，则称此极限为函数 z = f(x,y) 在点 (x_0,y_0) 处对 x 的偏导数。
记作：
left.frac{partial z}{partial x}right|{(x_0,y_0)}, quad left.frac{partial f}{partial x}right|{(x_0,y_0)}, quad f_x(x_0,y_0), quad z_x(x_0,y_0)
类似定义对 y 的偏导数。
2.2 偏导数的计算
计算偏导数时，将其他变量视为常数，用一元函数求导法。
例题1：求 z = x^2 + 3xy + y^2 在点 (1,2) 处的偏导数。
解：
frac{partial z}{partial x} = 2x + 3y, quad frac{partial z}{partial y} = 3x + 2y
在 (1,2) 处：
left.frac{partial z}{partial x}right|{(1,2)} = 2times1 + 3times2 = 8, quad left.frac{partial z}{partial y}right|{(1,2)} = 3times1 + 2times2 = 7
例题2：求 z = x^y （x > 0）的偏导数。
解：
对 x 求偏导（y 常数）：
frac{partial z}{partial x} = yx^{y-1}
对 y 求偏导（x 常数）：
frac{partial z}{partial y} = x^y ln x
2.3 高阶偏导数
二阶偏导数：
frac{partial}{partial x}left(frac{partial z}{partial x}right) = frac{partial^2 z}{partial x^2} = f_{xx}(x,y)
frac{partial}{partial y}left(frac{partial z}{partial x}right) = frac{partial^2 z}{partial x partial y} = f_{xy}(x,y)
frac{partial}{partial x}left(frac{partial z}{partial y}right) = frac{partial^2 z}{partial y partial x} = f_{yx}(x,y)
frac{partial}{partial y}left(frac{partial z}{partial y}right) = frac{partial^2 z}{partial y^2} = f_{yy}(x,y)
定理：如果函数 z = f(x,y) 的两个二阶混合偏导数 f_{xy} 和 f_{yx} 在区域 D 内连续，则在 D 内有
f_{xy}(x,y) = f_{yx}(x,y)
例题：求 z = x^3y^2 - 3xy^3 - xy + 1 的所有二阶偏导数。
解：
一阶偏导：
frac{partial z}{partial x} = 3x^2y^2 - 3y^3 - y, quad frac{partial z}{partial y} = 2x^3y - 9xy^2 - x
二阶偏导：
frac{partial^2 z}{partial x^2} = 6xy^2, quad frac{partial^2 z}{partial y^2} = 2x^3 - 18xy
混合偏导：
frac{partial^2 z}{partial x partial y} = 6x^2y - 9y^2 - 1, quad frac{partial^2 z}{partial y partial x} = 6x^2y - 9y^2 - 1
可见 frac{partial^2 z}{partial x partial y} = frac{partial^2 z}{partial y partial x}
第三章 全微分
3.1 全微分的定义
定义：如果函数 z = f(x,y) 在点 (x,y) 的全增量
Delta z = f(x+Delta x, y+Delta y) - f(x,y)
可以表示为
Delta z = ADelta x + BDelta y + o(rho)
其中 A、B 不依赖于 Delta x、Delta y，rho = sqrt{(Delta x)^2 + (Delta y)^2}，则称函数 z = f(x,y) 在点 (x,y) 处可微，而 ADelta x + BDelta y 称为函数在点 (x,y) 处的全微分，记作
dz = ADelta x + BDelta y
3.2 可微的条件
定理：如果函数 z = f(x,y) 在点 (x,y) 处可微，则
函数在该点连续
函数在该点的偏导数存在，且
dz = frac{partial z}{partial x}dx + frac{partial z}{partial y}dy
充分条件：如果函数 z = f(x,y) 的偏导数 frac{partial z}{partial x}、frac{partial z}{partial y} 在点 (x,y) 处连续，则函数在该点可微。
例题：求函数 z = x^2y + y^2 的全微分。
解：
frac{partial z}{partial x} = 2xy, quad frac{partial z}{partial y} = x^2 + 2y
∴ dz = 2xy dx + (x^2 + 2y)dy
3.3 全微分在近似计算中的应用
当 |Delta x|、|Delta y| 很小时：
Delta z approx dz = f_x(x,y)Delta x + f_y(x,y)Delta y
或
f(x+Delta x, y+Delta y) approx f(x,y) + f_x(x,y)Delta x + f_y(x,y)Delta y
例题：计算 (1.04)^{2.02} 的近似值。
解：
设 f(x,y) = x^y，取 x_0 = 1，y_0 = 2，Delta x = 0.04，Delta y = 0.02
f_x = yx^{y-1}, quad f_y = x^y ln x
在 (1,2) 处：f(1,2) = 1，f_x(1,2) = 2，f_y(1,2) = 0
(1.04)^{2.02} approx 1 + 2times0.04 + 0times0.02 = 1.08
第四章 多元复合函数求导法则
4.1 链式法则
定理：设函数 z = f(u,v)，而 u = u(x,y)，v = v(x,y)，且 f(u,v) 可微，u(x,y)、v(x,y) 的偏导数存在，则复合函数 z = f[u(x,y), v(x,y)] 的偏导数存在，且
frac{partial z}{partial x} = frac{partial z}{partial u} cdot frac{partial u}{partial x} + frac{partial z}{partial v} cdot frac{partial v}{partial x}
frac{partial z}{partial y} = frac{partial z}{partial u} cdot frac{partial u}{partial y} + frac{partial z}{partial v} cdot frac{partial v}{partial y}
例题：设 z = e^u sin v，而 u = xy，v = x + y，求 frac{partial z}{partial x} 和 frac{partial z}{partial y}。
解：
frac{partial z}{partial u} = e^u sin v, quad frac{partial z}{partial v} = e^u cos v
frac{partial u}{partial x} = y, quad frac{partial u}{partial y} = x, quad frac{partial v}{partial x} = 1, quad frac{partial v}{partial y} = 1
∴
frac{partial z}{partial x} = e^u sin v cdot y + e^u cos v cdot 1 = e^{xy}[ysin(x+y) + cos(x+y)]
frac{partial z}{partial y} = e^u sin v cdot x + e^u cos v cdot 1 = e^{xy}[xsin(x+y) + cos(x+y)]
4.2 全导数
如果 z = f(u,v)，而 u = u(t)，v = v(t)，则
frac{dz}{dt} = frac{partial z}{partial u} cdot frac{du}{dt} + frac{partial z}{partial v} cdot frac{dv}{dt}
第五章 隐函数求导法
5.1 一个方程的情形
定理：设函数 F(x,y) 在点 P(x_0,y_0) 的某一邻域内具有连续偏导数，且 F(x_0,y_0) = 0，F_y(x_0,y_0) neq 0，则方程 F(x,y) = 0 在点 (x_0,y_0) 的某一邻域内唯一确定一个具有连续导数的函数 y = f(x)，且
frac{dy}{dx} = -frac{F_x}{F_y}
例题：求由方程 x^2 + y^2 - 1 = 0 所确定的隐函数 y = y(x) 的导数。
解：
设 F(x,y) = x^2 + y^2 - 1
F_x = 2x, quad F_y = 2y
当 y neq 0 时：
frac{dy}{dx} = -frac{F_x}{F_y} = -frac{2x}{2y} = -frac{x}{y}
5.2 方程组的情形
对于方程组
begin{cases}
F(x,y,u,v) = 0
G(x,y,u,v) = 0
end{cases}
确定的隐函数 u = u(x,y)，v = v(x,y)，有公式：
frac{partial u}{partial x} = -frac{1}{J} frac{partial(F,G)}{partial(x,v)}, quad frac{partial v}{partial x} = -frac{1}{J} frac{partial(F,G)}{partial(u,x)}
其中雅可比行列式 J = frac{partial(F,G)}{partial(u,v)}
第六章 方向导数与梯度
6.1 方向导数
定义：设函数 z = f(x,y) 在点 P(x,y) 的某一邻域内有定义，l 是从点 P 出发的射线，P’(x+Delta x, y+Delta y) 为 l 上另一点，rho = |PP’|，如果极限
lim_{rho to 0} frac{f(x+Delta x, y+Delta y) - f(x,y)}{rho}
存在，则称此极限为函数 f(x,y) 在点 P 沿方向 l 的方向导数，记作 frac{partial f}{partial l}。
计算公式：如果函数 f(x,y) 在点 P(x,y) 可微，则沿方向 l（方向余弦为 cosalpha, cosbeta）的方向导数为
frac{partial f}{partial l} = f_x(x,y)cosalpha + f_y(x,y)cosbeta
例题：求函数 z = x^2 + y^2 在点 (1,2) 处沿方向 l = (1,1) 的方向导数。
解：
方向 l 的方向余弦：
cosalpha = frac{1}{sqrt{2}}, quad cosbeta = frac{1}{sqrt{2}}
偏导数：
f_x = 2x, quad f_y = 2y
在 (1,2) 处：f_x = 2，f_y = 4
frac{partial f}{partial l} = 2timesfrac{1}{sqrt{2}} + 4timesfrac{1}{sqrt{2}} = frac{6}{sqrt{2}} = 3sqrt{2}
6.2 梯度
定义：函数 z = f(x,y) 在点 P(x,y) 的梯度为
text{grad}f = left(frac{partial f}{partial x}, frac{partial f}{partial y}right) = f_xvec{i} + f_yvec{j}
性质：
方向导数等于梯度在该方向上的投影
frac{partial f}{partial l} = text{grad}f cdot vec{l}^0
其中 vec{l}^0 是 l 方向的单位向量
梯度方向是函数值增加最快的方向
梯度的模是方向导数的最大值
例题：求函数 f(x,y) = x^2 + y^2 在点 (1,1) 处的梯度。
解：
f_x = 2x, quad f_y = 2y
在 (1,1) 处：text{grad}f = (2, 2)
第七章 多元函数的极值
7.1 极值的概念
定义：设函数 z = f(x,y) 在点 P_0(x_0,y_0) 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内异于 P_0 的任何点 P(x,y)，都有
f(x,y) < f(x_0,y_0) quad (text{或 } f(x,y) > f(x_0,y_0))
则称 f(x_0,y_0) 为函数的极大值（或极小值）。
7.2 极值的必要条件
定理：如果函数 z = f(x,y) 在点 (x_0,y_0) 处取得极值，且在该点偏导数存在，则
f_x(x_0,y_0) = 0, quad f_y(x_0,y_0) = 0
满足上述方程的点称为驻点。
注意：驻点不一定是极值点！
7.3 极值的充分条件
定理：设函数 z = f(x,y) 在点 (x_0,y_0) 的某邻域内具有二阶连续偏导数，且 f_x(x_0,y_0) = 0，f_y(x_0,y_0) = 0，令
A = f_{xx}(x_0,y_0), quad B = f_{xy}(x_0,y_0), quad C = f_{yy}(x_0,y_0)
记 Delta = AC - B^2，则
- 如果 Delta > 0 且 A > 0，则 f(x_0,y_0) 是极小值
- 如果 Delta > 0 且 A < 0，则 f(x_0,y_0) 是极大值
- 如果 Delta < 0，则 f(x_0,y_0) 不是极值
- 如果 Delta = 0，方法失效
例题：求函数 f(x,y) = x^3 - y^3 + 3x^2 + 3y^2 - 9x 的极值。
解：
一阶偏导：
f_x = 3x^2 + 6x - 9, quad f_y = -3y^2 + 6y
令 f_x = 0，f_y = 0：
begin{cases}
3x^2 + 6x - 9 = 0
-3y^2 + 6y = 0
end{cases}
Rightarrow
begin{cases}
x^2 + 2x - 3 = 0
y^2 - 2y = 0
end{cases}
解得：x = 1 或 x = -3；y = 0 或 y = 2
驻点：(1,0)，(1,2)，(-3,0)，(-3,2)
二阶偏导：
f_{xx} = 6x + 6, quad f_{xy} = 0, quad f_{yy} = -6y + 6
逐个判断：
- 在 (1,0)：A=12>0，B=0，C=6，Delta=72>0，极小值 f(1,0)=-5
- 在 (1,2)：A=12>0，B=0，C=-6，Delta=-72<0，不是极值
- 在 (-3,0)：A=-12<0，B=0，C=6，Delta=-72<0，不是极值
- 在 (-3,2)：A=-12<0，B=0，C=-6，Delta=72>0，极大值 f(-3,2)=31
7.4 条件极值（拉格朗日乘数法）
求函数 z = f(x,y) 在条件 varphi(x,y) = 0 下的极值：
构造拉格朗日函数：
L(x,y,lambda) = f(x,y) + lambdavarphi(x,y)
解方程组：
begin{cases}
L_x = f_x + lambdavarphi_x = 0
L_y = f_y + lambdavarphi_y = 0
L_lambda = varphi(x,y) = 0
end{cases}
本章小结
| 知识点 | 核心内容 | 考查重点 |
|---|---|---|
| 基本概念 | 极限、连续、偏导 | 概念理解、计算 |
| 偏导数 | 定义、计算、几何意义 | 各种函数求偏导 |
| 全微分 | 定义、计算、应用 | 可微判断、近似计算 |
| 复合求导 | 链式法则、全导数 | 各种复合情形 |
| 隐函数 | 一个方程、方程组 | 隐函数求导公式 |
| 方向导数 | 定义、计算、梯度 | 公式应用、几何意义 |
| 极值 | 无条件极值、条件极值 | 极值判别、拉格朗日法 |
备考建议
- 理解概念本质：掌握多元函数与一元函数的区别
- 熟练计算方法：各种求导法则要熟练掌握
- 注重几何直观：理解偏导、全微分的几何意义
- 分类训练：对各种类型的极值问题进行分类练习
- 综合应用：多做综合性较强的应用题
本文为专升本高等数学系列第八篇，多元微积分的重要内容
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1. 函数与极限
2. 导数与微分
3. 微分中值定理与导数的应用
4. 不定积分
5. 定积分及其应用
6. 微分方程
7. 向量代数与空间解析几何
8. 多元函数微分法及其应用
9. 下一章：重积分