定积分及其应用
第一章 定积分的概念与性质
1.1 定积分的定义
定积分的直观背景是求曲边梯形的面积。
定义：设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上有界，用分点
a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b
将区间 [a, b] 分成 n 个小区间，在每个小区间 [x_{i-1}, x_i] 上任取一点 \xi_i，作和式
\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i
其中 \Delta x_i = x_i - x_{i-1}。如果当最大小区间长度 \lambda = \max{\Delta x_i} \to 0 时，和式的极限存在，且与分法及 \xi_i 的取法无关，则称此极限为函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分，记作
\int_a^b f(x)dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i
其中：
- a 称为积分下限
- b 称为积分上限
- [a, b] 称为积分区间
- f(x) 称为被积函数
1.2 定积分的几何意义
- 当 f(x) \geq 0 时，\int_a^b f(x)dx 表示由曲线 y = f(x)、直线 x = a、x = b 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积
- 当 f(x) \leq 0 时，\int_a^b f(x)dx 表示面积的负值
- 一般地，\int_a^b f(x)dx 表示各部分面积的代数和
1.3 定积分的存在定理
定理1：如果 f(x) 在 [a, b] 上连续，则 f(x) 在 [a, b] 上可积。
定理2：如果 f(x) 在 [a, b] 上有界，且只有有限个间断点，则 f(x) 在 [a, b] 上可积。
1.4 定积分的性质
设 f(x)、g(x) 在相应区间上可积：
线性性质：
\int_a^b [k_1 f(x) + k_2 g(x)]dx = k_1 \int_a^b f(x)dx + k_2 \int_a^b g(x)dx
区间可加性：
\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx
保号性：如果在 [a, b] 上 f(x) \geq 0，则 \int_a^b f(x)dx \geq 0
绝对值不等式：
\left|\int_a^b f(x)dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|dx
积分中值定理：如果 f(x) 在 [a, b] 上连续，则存在 \xi \in [a, b]，使得
\int_a^b f(x)dx = f(\xi)(b - a)
第二章 微积分基本定理
微积分基本定理建立了定积分与不定积分之间的联系，是微积分的核心内容。
2.1 积分上限函数
定义：设 f(x) 在 [a, b] 上连续，则函数
\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt \quad (a \leq x \leq b)
称为积分上限函数。
定理：如果 f(x) 在 [a, b] 上连续，则积分上限函数 \Phi(x) = \int_a^x f(t)dt 在 [a, b] 上可导，且
\Phi’(x) = \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt = f(x)
例题：求 \frac{d}{dx} \int_0^x \sin t^2 dt
解：
由定理直接得：
\frac{d}{dx} \int_0^x \sin t^2 dt = \sin x^2
2.2 牛顿-莱布尼茨公式
定理：如果函数 F(x) 是连续函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的一个原函数，则
\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)
记作：
\int_a^b f(x)dx = F(x)\big|_a^b = F(b) - F(a)
这个公式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式。
例题1：计算 \int_0^1 x^2 dx
解：
\int_0^1 x^2 dx = \left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}
例题2：计算 \int_0^{\pi} \sin x dx
解：
\int_0^{\pi} \sin x dx = (-\cos x)\big|_0^{\pi} = (-\cos\pi) - (-\cos 0) = 1 - (-1) = 2
第三章 定积分的计算
3.1 定积分的换元法
定理：设函数 f(x) 在 [a, b] 上连续，函数 x = \varphi(t) 满足：
- \varphi(\alpha) = a，\varphi(\beta) = b
- \varphi(t) 在 [\alpha, \beta]（或 [\beta, \alpha]）上具有连续导数，且其值域包含于 [a, b]
则
\int_a^b f(x)dx = \int_\alpha^\beta f[\varphi(t)]\varphi’(t)dt
例题1：计算 \int_0^a \sqrt{a^2 - x^2}dx （a > 0）
解：
令 x = a\sin t，则 dx = a\cos tdt
当 x = 0 时，t = 0；当 x = a 时，t = \frac{\pi}{2}
例题2：计算 \int_0^{\ln 2} \sqrt{e^x - 1}dx
解：
令 \sqrt{e^x - 1} = t，则 e^x = t^2 + 1，x = \ln(t^2 + 1)，dx = \frac{2t}{t^2 + 1}dt
当 x = 0 时，t = 0；当 x = \ln 2 时，t = 1
3.2 定积分的分部积分法
公式：
\int_a^b u(x)v’(x)dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u’(x)v(x)dx
例题：计算 \int_0^1 x e^x dx
解：
令 u = x，dv = e^x dx，则 du = dx，v = e^x
第四章 广义积分
4.1 无穷限的广义积分
定义：
- \int_a^{+\infty} f(x)dx = \lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x)dx
- \int_{-\infty}^b f(x)dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x)dx
- \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \int_{-\infty}^c f(x)dx + \int_c^{+\infty} f(x)dx
如果极限存在，则称广义积分收敛，否则发散。
例题1：计算 \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2}dx
解：
\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2}dx = \lim_{b \to +\infty} \int_1^b \frac{1}{x^2}dx = \lim_{b \to +\infty} \left[-\frac{1}{x}\right]1^b = \lim{b \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{b}\right) = 1
例题2：判断 \int_1^{+\infty} \frac{1}{x}dx 的敛散性
解：
\int_1^{+\infty} \frac{1}{x}dx = \lim_{b \to +\infty} \int_1^b \frac{1}{x}dx = \lim_{b \to +\infty} [\ln x]1^b = \lim{b \to +\infty} \ln b = +\infty
∴ 该广义积分发散
4.2 无界函数的广义积分（瑕积分）
如果函数 f(x) 在点 a 的任意邻域内无界，则称 a 为瑕点。
定义：
\int_a^b f(x)dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x)dx
例题：计算 \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}dx
解：
x = 0 是瑕点
\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_\varepsilon^1 x^{-\frac{1}{2}}dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} [2\sqrt{x}]\varepsilon^1 = \lim{\varepsilon \to 0^+} (2 - 2\sqrt{\varepsilon}) = 2
第五章 定积分在几何学中的应用
5.1 平面图形的面积
5.1.1 直角坐标系下的面积
由曲线 y = f(x)、x 轴及直线 x = a、x = b 所围图形面积：
A = \int_a^b |f(x)|dx
由两条曲线 y = f(x)、y = g(x) 及直线 x = a、x = b 所围图形面积：
A = \int_a^b |f(x) - g(x)|dx
例题：求由抛物线 y = x^2 与直线 y = x 所围图形的面积。
解：
解方程组：
得交点 (0, 0)、(1, 1)
在 [0, 1] 上，x \geq x^2
A = \int_0^1 (x - x^2)dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}
5.1.2 极坐标系下的面积
由曲线 r = r(\theta) 及射线 \theta = \alpha、\theta = \beta 所围图形面积：
A = \frac{1}{2} \int_\alpha^\beta [r(\theta)]^2 d\theta
5.2 体积
5.2.1 旋转体的体积
由曲线 y = f(x)、直线 x = a、x = b 及 x 轴所围图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积：
V_x = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx
绕 y 轴旋转体积：
V_y = 2\pi \int_a^b x |f(x)| dx
例题：求由 y = x^2、x = 1 及 x 轴所围图形绕 x 轴旋转所得旋转体体积。
解：
V = \pi \int_0^1 (x^2)^2 dx = \pi \int_0^1 x^4 dx = \pi \left[\frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \frac{\pi}{5}
5.2.2 平行截面面积为已知的立体体积
设立体在过点 x = a、x = b 且垂直于 x 轴的两个平面之间，过点 x 且垂直于 x 轴的截面面积为 A(x)，则体积：
V = \int_a^b A(x)dx
5.3 平面曲线的弧长
5.3.1 直角坐标系下的弧长
曲线 y = f(x) （a \leq x \leq b）的弧长：
s = \int_a^b \sqrt{1 + [f’(x)]^2} dx
5.3.2 参数方程下的弧长
曲线
s = \int_\alpha^\beta \sqrt{[\varphi’(t)]^2 + [\psi’(t)]^2} dt
第六章 定积分在物理学中的应用
6.1 变力沿直线所作的功
物体在变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x = a 移动到 x = b 所作的功：
W = \int_a^b F(x)dx
例题：设弹簧原长为 1 米，弹性系数 k = 50 N/m，求将弹簧从 1.2 米拉长到 1.5 米所作的功。
解：
根据胡克定律，F(x) = kx = 50x
W = \int_{0.2}^{0.5} 50x dx = 50 \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0.2}^{0.5} = 25(0.25 - 0.04) = 5.25 \text{ J}
6.2 液体的静压力
深度为 h 处的液体压强 p = \rho g h，面积为 A 的平板一侧所受的静压力：
P = \int p dA
6.3 函数的平均值
函数 y = f(x) 在区间 [a, b] 上的平均值：
\bar{y} = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x)dx
第七章 典型例题解析
例题1：对称性的应用
计算 \int_{-1}^1 \frac{x^3 \cos x + x^2}{1 + x^2} dx
解：
将被积函数拆分为：
f(x) = \frac{x^3 \cos x}{1 + x^2} + \frac{x^2}{1 + x^2}
第一项是奇函数，在对称区间上积分为 0
第二项是偶函数
例题2：递推公式的应用
建立 I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx 的递推公式
解：
\begin{aligned}
I_n &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1} x \cdot \sin x dx \
&= [-\sin^{n-1} x \cos x]0^{\frac{\pi}{2}} + (n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} x \cos^2 x dx \
&= 0 + (n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} x (1 - \sin^2 x) dx \
&= (n-1)I{n-2} - (n-1)I_n
\end{aligned}
整理得：
n I_n = (n-1) I_{n-2}
即：
I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}
例题3：综合应用题
求由曲线 y = \sqrt{x}、y = \sqrt{2x - x^2} 及 x 轴所围图形的面积。
解：
先求交点：
\sqrt{x} = \sqrt{2x - x^2} \Rightarrow x = 2x - x^2 \Rightarrow x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x - 1) = 0
得 x = 0、x = 1
在 [0, 1] 上，\sqrt{2x - x^2} \geq \sqrt{x}
A = \int_0^1 (\sqrt{2x - x^2} - \sqrt{x}) dx
分别计算：
\int_0^1 \sqrt{2x - x^2} dx = \int_0^1 \sqrt{1 - (x-1)^2} dx
令 x - 1 = \sin t，得此部分面积为 \frac{\pi}{4}
\int_0^1 \sqrt{x} dx = \left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_0^1 = \frac{2}{3}
∴ A = \frac{\pi}{4} - \frac{2}{3}
本章小结
| 知识点 | 核心内容 | 考查重点 |
|---|---|---|
| 定积分概念 | 定义、几何意义、性质 | 概念理解、性质应用 |
| 微积分基本定理 | 积分上限函数、牛顿-莱布尼茨公式 | 公式应用、求导计算 |
| 定积分计算 | 换元法、分部积分法 | 各种计算方法 |
| 广义积分 | 无穷积分、瑕积分 | 敛散性判断、计算 |
| 几何应用 | 面积、体积、弧长 | 公式应用、建模 |
| 物理应用 | 功、压力、平均值 | 实际问题建模 |
备考建议
- 理解概念本质：掌握定积分的定义和几何意义
- 熟练计算方法：掌握各种积分技巧
- 注重应用训练：多做几何、物理应用题
- 善用性质：利用对称性、周期性等简化计算
- 综合运用：将定积分与其他知识点结合
本文为专升本高等数学系列第五篇，微积分的核心应用
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