导数与微分
第一章 导数的概念
1.1 导数的定义
定义：设函数 y = f(x) 在点 x_0 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 x_0 处取得增量 \Delta x 时，函数取得增量 \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)。如果极限
\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
存在，则称函数 f(x) 在点 x_0 处可导，并称该极限为函数在点 x_0 处的导数，记作 f’(x_0) 或 \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=x_0}。
1.2 导数的几何意义
函数 y = f(x) 在点 x_0 处的导数 f’(x_0) 表示曲线 y = f(x) 在点 (x_0, f(x_0)) 处的切线斜率。
切线方程：y - f(x_0) = f’(x_0)(x - x_0)
法线方程：y - f(x_0) = -\frac{1}{f’(x_0)}(x - x_0) （f’(x_0) \neq 0）
例题：求曲线 y = x^2 在点 (1,1) 处的切线方程和法线方程。
解：
y’ = 2x, \quad y’(1) = 2 \times 1 = 2
切线方程：y - 1 = 2(x - 1) \Rightarrow y = 2x - 1
法线方程：y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1) \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}
1.3 可导与连续的关系
定理：如果函数 y = f(x) 在点 x_0 处可导，则它在点 x_0 处一定连续。
注意：反之不成立！连续不一定可导。
反例：y = |x| 在 x = 0 处连续但不可导。
第二章 求导法则
2.1 基本求导公式
- (C)’ = 0 （C 为常数）
- (x^\alpha)’ = \alpha x^{\alpha-1}
- (a^x)’ = a^x \ln a （a > 0, a \neq 1）
- (e^x)’ = e^x
- (\log_a x)’ = \frac{1}{x \ln a} （a > 0, a \neq 1）
- (\ln x)’ = \frac{1}{x}
- (\sin x)’ = \cos x
- (\cos x)’ = -\sin x
- (\tan x)’ = \sec^2 x
- (\cot x)’ = -\csc^2 x
2.2 四则运算法则
设 u = u(x)，v = v(x) 都可导，则：
- (u \pm v)’ = u’ \pm v’
- (uv)’ = u’v + uv’
- \left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v - uv’}{v^2} （v \neq 0）
例题：求 y = x^2 \sin x 的导数。
解：
y’ = (x^2)’ \sin x + x^2 (\sin x)’ = 2x \sin x + x^2 \cos x
2.3 复合函数求导法则（链式法则）
设 y = f(u)，u = g(x) 都可导，则复合函数 y = f[g(x)] 的导数为：
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f’(u) \cdot g’(x)
例题：求 y = \sin(2x + 1) 的导数。
解：
令 u = 2x + 1，则 y = \sin u
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \cos u \cdot 2 = 2\cos(2x + 1)
2.4 反函数求导法则
设 y = f(x) 在区间 I_x 内单调、可导，且 f’(x) \neq 0，则其反函数 x = \varphi(y) 在对应区间 I_y 内也可导，且
\varphi’(y) = \frac{1}{f’(x)} \quad \text{或} \quad \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}
例题：求 y = \arcsin x 的导数。
解：
y = \arcsin x 是 x = \sin y 的反函数
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 y}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
第三章 高阶导数
3.1 高阶导数的概念
函数 y = f(x) 的导数 y’ = f’(x) 仍然是一个函数，如果它还可导，则称其导数为 f(x) 的二阶导数，记作 y’’ 或 f’’(x) 或 \frac{d^2y}{dx^2}。
类似地，可以定义三阶、四阶……n 阶导数。
3.2 常见函数的高阶导数
- (e^x)^{(n)} = e^x
- (a^x)^{(n)} = a^x (\ln a)^n
- (\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)
- (\cos x)^{(n)} = \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)
- (\ln x)^{(n)} = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^n}
- (x^\alpha)^{(n)} = \alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)x^{\alpha-n}
例题：求 y = \sin 2x 的二阶导数。
解：
y’ = 2\cos 2x, \quad y’’ = -4\sin 2x
第四章 微分
4.1 微分的概念
定义：设函数 y = f(x) 在点 x_0 处可导，则称 f’(x_0)\Delta x 为函数在点 x_0 处的微分，记作 dy，即
dy = f’(x_0)\Delta x
通常记 \Delta x = dx，所以 dy = f’(x)dx。
4.2 微分的几何意义
微分 dy 表示曲线 y = f(x) 在点 (x_0, f(x_0)) 处的切线纵坐标的增量。
4.3 微分法则
由于 dy = f’(x)dx，所以求微分实际上就是求导数：
- d(u \pm v) = du \pm dv
- d(uv) = vdu + udv
- d\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{vdu - udv}{v^2}
4.4 微分在近似计算中的应用
当 |\Delta x| 很小时：
\Delta y \approx dy = f’(x_0)\Delta x
或
f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f’(x_0)\Delta x
例题：利用微分计算 \sqrt[3]{8.02} 的近似值。
解：
设 f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}，取 x_0 = 8，\Delta x = 0.02
f’(x) = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}, \quad f’(8) = \frac{1}{3} \cdot 8^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}
\sqrt[3]{8.02} \approx f(8) + f’(8) \cdot \Delta x = 2 + \frac{1}{12} \times 0.02 \approx 2.00167
第五章 隐函数与参数方程求导
5.1 隐函数求导
对于方程 F(x, y) = 0 所确定的隐函数 y = y(x)，求导时将 y 看作 x 的函数，然后对方程两边关于 x 求导。
例题：求由方程 x^2 + y^2 = 1 所确定的隐函数 y = y(x) 的导数。
解：
两边对 x 求导：
2x + 2y \cdot y’ = 0 \Rightarrow y’ = -\frac{x}{y}
5.2 参数方程求导
设参数方程
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\psi’(t)}{\varphi’(t)}
例题：求由参数方程
解：
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{b\cos t}{-a\sin t} = -\frac{b}{a}\cot t
第六章 典型例题解析
例题1：复合函数求导
求 y = \ln(x + \sqrt{1 + x^2}) 的导数。
解：
例题2：隐函数求导
求由方程 e^y + xy - e = 0 所确定的隐函数在 x = 0 处的导数。
解：
当 x = 0 时，e^y - e = 0 \Rightarrow y = 1
方程两边对 x 求导：
e^y \cdot y’ + y + x \cdot y’ = 0
代入 x = 0, y = 1：
e^1 \cdot y’ + 1 + 0 = 0 \Rightarrow y’ = -\frac{1}{e}
例题3：高阶导数
求 y = x^2 e^{2x} 的二阶导数。
解：
y’ = 2x e^{2x} + x^2 \cdot 2e^{2x} = 2x(1 + x)e^{2x}
本章小结
| 知识点 | 核心内容 | 考查重点 |
|---|---|---|
| 导数概念 | 定义、几何意义、可导与连续 | 导数定义求极限、切线方程 |
| 求导法则 | 基本公式、四则运算、复合函数 | 各种函数求导计算 |
| 高阶导数 | 二阶及n阶导数 | 常见函数高阶导数公式 |
| 微分 | 概念、几何意义、近似计算 | 微分计算、近似值计算 |
| 特殊求导 | 隐函数、参数方程 | 隐函数求导、参数方程求导 |
备考建议
- 熟练掌握公式：牢记基本求导公式和法则
- 多练习复合函数：这是考试的重点和难点
- 理解几何意义：结合图形理解导数和微分
- 注意计算细节：求导过程中注意符号和运算顺序
- 总结题型：整理各类求导问题的解题方法
本文为专升本高等数学系列第二篇，建议结合前篇《函数与极限》一起学习
下一篇：微分中值定理与导数的应用