微分中值定理与导数的应用
第一章 微分中值定理
微分中值定理是连接函数与导数之间的桥梁，是微分学的理论基础。
1.1 罗尔定理（Rolle’s Theorem）
定理：如果函数 f(x) 满足：
- 在闭区间 [a, b] 上连续
- 在开区间 (a, b) 内可导
- f(a) = f(b)
则在 (a, b) 内至少存在一点 \xi，使得 f’(\xi) = 0。
几何意义：在曲线弧 \overset{\frown}{AB} 上至少有一点 C，曲线在 C 点处的切线平行于 x 轴。
例题：验证函数 f(x) = x^2 - 2x + 3 在区间 [0, 2] 上满足罗尔定理的条件，并求 \xi。
解：
- f(x) 是多项式，在 [0, 2] 上连续
- f(x) 在 (0, 2) 内可导
- f(0) = 3，f(2) = 4 - 4 + 3 = 3，满足 f(0) = f(2)
求导：f’(x) = 2x - 2
令 f’(\xi) = 0，得 2\xi - 2 = 0，\xi = 1 \in (0, 2)
1.2 拉格朗日中值定理（Lagrange’s Theorem）
定理：如果函数 f(x) 满足：
- 在闭区间 [a, b] 上连续
- 在开区间 (a, b) 内可导
则在 (a, b) 内至少存在一点 \xi，使得
f’(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
或等价地：
f(b) - f(a) = f’(\xi)(b - a)
几何意义：在曲线弧 \overset{\frown}{AB} 上至少有一点 C，曲线在 C 点处的切线平行于弦 AB。
推论：如果函数 f(x) 在区间 I 上满足 f’(x) \equiv 0，则 f(x) 在 I 上为常数函数。
例题：验证函数 f(x) = \ln x 在 [1, e] 上满足拉格朗日中值定理，并求 \xi。
解：
- f(x) = \ln x 在 [1, e] 上连续
- f(x) 在 (1, e) 内可导
由定理：
f’(\xi) = \frac{f(e) - f(1)}{e - 1} = \frac{1 - 0}{e - 1} = \frac{1}{e - 1}
又 f’(x) = \frac{1}{x}，所以 \frac{1}{\xi} = \frac{1}{e - 1}，得 \xi = e - 1 \in (1, e)
1.3 柯西中值定理（Cauchy’s Theorem）
定理：如果函数 f(x) 和 g(x) 满足：
- 在闭区间 [a, b] 上连续
- 在开区间 (a, b) 内可导
- g’(x) \neq 0（x \in (a, b)）
则在 (a, b) 内至少存在一点 \xi，使得
\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f’(\xi)}{g’(\xi)}
第二章 洛必达法则
洛必达法则是求未定式极限的重要方法。
2.1 \frac{0}{0} 型未定式
定理：设
- \lim\limits_{x \to a} f(x) = 0，\lim\limits_{x \to a} g(x) = 0
- 在点 a 的某去心邻域内，f’(x) 和 g’(x) 存在且 g’(x) \neq 0
- \lim\limits_{x \to a} \frac{f’(x)}{g’(x)} 存在（或为无穷大）
则
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f’(x)}{g’(x)}
例题：求 \lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}
解：
这是 \frac{0}{0} 型未定式
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = 1
2.2 \frac{\infty}{\infty} 型未定式
类似地，对于 \frac{\infty}{\infty} 型未定式，洛必达法则同样适用。
例题：求 \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}
解：
这是 \frac{\infty}{\infty} 型未定式
\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0
2.3 其他类型未定式
0 \cdot \infty、\infty - \infty、0^0、1^\infty、\infty^0 等类型可通过变形转化为 \frac{0}{0} 或 \frac{\infty}{\infty} 型。
例题：求 \lim\limits_{x \to 0^+} x \ln x
解：
这是 0 \cdot \infty 型，转化为 \frac{\infty}{\infty} 型：
\lim_{x \to 0^+} x \ln x = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0
第三章 函数单调性与极值
3.1 函数单调性的判定
定理：设函数 f(x) 在区间 I 上可导，
- 若 f’(x) > 0（x \in I），则 f(x) 在 I 上单调递增
- 若 f’(x) < 0（x \in I），则 f(x) 在 I 上单调递减
例题：确定函数 f(x) = x^3 - 3x 的单调区间。
解：
f’(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)
令 f’(x) = 0，得 x = -1, 1
| x | (-\infty, -1) | -1 | (-1, 1) | 1 | (1, +\infty) |
|---|---|---|---|---|---|
| f’(x) | + | 0 | - | 0 | + |
| f(x) | ↗ | 极大 | ↘ | 极小 | ↗ |
∴ 单调递增区间：(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)
单调递减区间：[-1, 1]
3.2 函数的极值
3.2.1 极值的定义
设函数 f(x) 在点 x_0 的某邻域内有定义，
- 如果存在 \delta > 0，使得当 0 < |x - x_0| < \delta 时，f(x) < f(x_0)，则称 f(x_0) 为极大值
- 如果存在 \delta > 0，使得当 0 < |x - x_0| < \delta 时，f(x) > f(x_0)，则称 f(x_0) 为极小值
3.2.2 极值的必要条件
如果 f(x) 在点 x_0 处可导且取得极值，则 f’(x_0) = 0。
驻点：满足 f’(x_0) = 0 的点 x_0 称为函数的驻点。
注意：驻点不一定是极值点！
3.2.3 极值的第一充分条件
设 f(x) 在点 x_0 处连续，在 x_0 的某去心邻域内可导，
- 如果 x < x_0 时 f’(x) > 0，x > x_0 时 f’(x) < 0，则 f(x_0) 为极大值
- 如果 x < x_0 时 f’(x) < 0，x > x_0 时 f’(x) > 0，则 f(x_0) 为极小值
3.2.4 极值的第二充分条件
设 f(x) 在点 x_0 处具有二阶导数，且 f’(x_0) = 0，f’’(x_0) \neq 0，
- 如果 f’’(x_0) < 0，则 f(x_0) 为极大值
- 如果 f’’(x_0) > 0，则 f(x_0) 为极小值
例题：求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 的极值。
解：
f’(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)
令 f’(x) = 0，得 x = -1, 3
方法一（第一充分条件）：
- x < -1：f’(x) > 0
- -1 < x < 3：f’(x) < 0
- x > 3：f’(x) > 0
∴ x = -1 处取得极大值 f(-1) = 10
x = 3 处取得极小值 f(3) = -22
方法二（第二充分条件）：
f’’(x) = 6x - 6
- f’’(-1) = -12 < 0，极大值 f(-1) = 10
- f’’(3) = 12 > 0，极小值 f(3) = -22
第四章 函数的最值
4.1 闭区间上连续函数的最值
求 f(x) 在 [a, b] 上的最值步骤：
- 求 f(x) 在 (a, b) 内的驻点和不可导点
- 计算这些点的函数值及端点值 f(a)、f(b)
- 比较这些值，最大者为最大值，最小者为最小值
例题：求 f(x) = x^3 - 3x^2 + 1 在 [-1, 4] 上的最值。
解：
f’(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)
驻点：x = 0, 2
计算：
- f(-1) = -1 - 3 + 1 = -3
- f(0) = 1
- f(2) = 8 - 12 + 1 = -3
- f(4) = 64 - 48 + 1 = 17
∴ 最大值 f(4) = 17，最小值 f(-1) = f(2) = -3
4.2 实际问题的最值
解决实际应用问题的步骤：
- 建立目标函数
- 确定定义域
- 求驻点
- 判断驻点是否为极值点
- 比较得出最值
例题：要造一个容积为 V 的圆柱形罐头盒，怎样设计才能使所用材料最省？
解：
设底面半径为 r，高为 h，则 V = \pi r^2 h
表面积 S = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}
S’(r) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2}
令 S’(r) = 0，得 4\pi r = \frac{2V}{r^2}，即 r^3 = \frac{V}{2\pi}
此时 h = \frac{V}{\pi r^2} = 2r
∴ 当 h = 2r 时，表面积最小，材料最省
第五章 曲线的凹凸性与拐点
5.1 凹凸性的定义
设 f(x) 在区间 I 上连续，
如果对任意 x_1, x_2 \in I，有
f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) < \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}
则称 f(x) 在 I 上是凹函数（concave up）
如果对任意 x_1, x_2 \in I，有
f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) > \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}
则称 f(x) 在 I 上是凸函数（concave down）
5.2 凹凸性的判定
定理：设 f(x) 在区间 I 上具有二阶导数，
- 若 f’’(x) > 0（x \in I），则曲线 y = f(x) 在 I 上是凹的
- 若 f’’(x) < 0（x \in I），则曲线 y = f(x) 在 I 上是凸的
5.3 拐点
定义：连续曲线 y = f(x) 上凹弧与凸弧的分界点称为拐点。
拐点的必要条件：如果 f(x) 在点 x_0 处具有二阶导数，且 (x_0, f(x_0)) 是拐点，则 f’’(x_0) = 0。
拐点的充分条件：设 f(x) 在点 x_0 处连续，在 x_0 的某去心邻域内具有二阶导数，且 f’’(x) 在 x_0 两侧异号，则 (x_0, f(x_0)) 是拐点。
例题：求曲线 y = x^4 - 4x^3 + 6x^2 的凹凸区间和拐点。
解：
y’ = 4x^3 - 12x^2 + 12x
y’’ = 12x^2 - 24x + 12 = 12(x^2 - 2x + 1) = 12(x - 1)^2
令 y’’ = 0，得 x = 1
但 y’’ = 12(x - 1)^2 \geq 0，且在 x = 1 两侧 y’’ 不变号
∴ 曲线在 (-\infty, +\infty) 内都是凹的，没有拐点
第六章 典型例题解析
例题1：中值定理证明
证明：当 x > 0 时，\frac{x}{1 + x} < \ln(1 + x) < x
证明：
设 f(t) = \ln(1 + t)，在 [0, x] 上应用拉格朗日中值定理：
\ln(1 + x) - \ln 1 = \frac{1}{1 + \xi} \cdot x, \quad \xi \in (0, x)
即 \ln(1 + x) = \frac{x}{1 + \xi}
由于 0 < \xi < x，所以
\frac{x}{1 + x} < \frac{x}{1 + \xi} < \frac{x}{1 + 0} = x
即 \frac{x}{1 + x} < \ln(1 + x) < x
例题2：综合应用
求函数 f(x) = x + 2\cos x 在 [0, 2\pi] 上的极值和最值。
解：
f’(x) = 1 - 2\sin x
令 f’(x) = 0，得 \sin x = \frac{1}{2}，x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}
f’’(x) = -2\cos x
- f’’(\frac{\pi}{6}) = -2\cos\frac{\pi}{6} = -\sqrt{3} < 0，极大值 f(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6} + \sqrt{3}
- f’’(\frac{5\pi}{6}) = -2\cos\frac{5\pi}{6} = \sqrt{3} > 0，极小值 f(\frac{5\pi}{6}) = \frac{5\pi}{6} - \sqrt{3}
端点值：
- f(0) = 0 + 2 = 2
- f(2\pi) = 2\pi + 2
比较得：
最大值 f(2\pi) = 2\pi + 2，最小值 f(\frac{5\pi}{6}) = \frac{5\pi}{6} - \sqrt{3}
本章小结
| 知识点 | 核心内容 | 考查重点 |
|---|---|---|
| 微分中值定理 | 罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理 | 定理验证、证明题 |
| 洛必达法则 | \frac{0}{0}型、\frac{\infty}{\infty}型 | 未定式极限计算 |
| 函数单调性 | 导数符号判定单调性 | 求单调区间 |
| 极值与最值 | 极值必要条件、充分条件 | 求极值、最值应用问题 |
| 曲线性质 | 凹凸性、拐点 | 判断凹凸区间、求拐点 |
备考建议
- 理解定理条件：掌握各中值定理的适用条件
- 熟练洛必达：各种未定式的转化技巧
- 掌握判定方法：单调性、极值、凹凸性的判定
- 注重应用：最值问题的建模与求解
- 综合训练：多做综合性的证明和应用题
本文为专升本高等数学系列第三篇，建议结合前篇系统学习
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