微分方程
第一章 微分方程的基本概念
1.1 微分方程的定义
定义：含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。
分类：
- 常微分方程：未知函数是一元函数
- 偏微分方程：未知函数是多元函数
本章只讨论常微分方程。
1.2 微分方程的阶
微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。
例题：判断下列微分方程的阶数：
- y’ + 2y = e^x （一阶）
- y’’ + 3y’ + 2y = \sin x （二阶）
- x^2 y’’’ + 2xy’’ + y = 0 （三阶）
1.3 微分方程的解
定义：如果一个函数代入微分方程后能使该方程成为恒等式，则称此函数为该微分方程的解。
通解：含有与微分方程的阶数相同个数的独立任意常数的解称为通解。
特解：不含任意常数的解称为特解。通解中的任意常数由初始条件确定后得到的解就是特解。
例题：验证 y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} 是微分方程 y’’ - 3y’ + 2y = 0 的通解。
解：
求导：
y’ = C_1 e^x + 2C_2 e^{2x}, \quad y’’ = C_1 e^x + 4C_2 e^{2x}
代入方程：
(C_1 e^x + 4C_2 e^{2x}) - 3(C_1 e^x + 2C_2 e^{2x}) + 2(C_1 e^x + C_2 e^{2x}) = 0
整理得：
(C_1 - 3C_1 + 2C_1)e^x + (4C_2 - 6C_2 + 2C_2)e^{2x} = 0
成立，所以是通解。
1.4 初值问题
求微分方程满足初始条件的特解的问题称为初值问题。
例如：求 y’ = f(x, y) 满足 y(x_0) = y_0 的特解。
第二章 一阶微分方程
2.1 可分离变量的微分方程
形式：y’ = f(x)g(y) 或 M(x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0
解法：分离变量后积分
\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx + C
例题1：求 y’ = 2xy 的通解。
解：
分离变量：
\frac{dy}{y} = 2x dx
积分：
\int \frac{dy}{y} = \int 2x dx \Rightarrow \ln|y| = x^2 + C_1
∴ y = \pm e^{C_1} e^{x^2} = C e^{x^2} （C = \pm e^{C_1}）
例题2：求 \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} 满足 y(1) = 2 的特解。
解：
分离变量：
\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}
积分：
\ln|y| = \ln|x| + C_1 \Rightarrow y = Cx
代入初始条件：2 = C \cdot 1 \Rightarrow C = 2
∴ 特解为 y = 2x
2.2 齐次微分方程
形式：y’ = f\left(\frac{y}{x}\right)
解法：令 u = \frac{y}{x}，则 y = ux，y’ = u + x\frac{du}{dx}
代入得：
u + x\frac{du}{dx} = f(u) \Rightarrow \frac{du}{f(u) - u} = \frac{dx}{x}
化为可分离变量方程。
例题：求 (x^2 + y^2)dx - xydy = 0 的通解。
解：
化为：
\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}
令 u = \frac{y}{x}，则 y = ux，y’ = u + x\frac{du}{dx}
代入：
u + x\frac{du}{dx} = \frac{1}{u} + u \Rightarrow x\frac{du}{dx} = \frac{1}{u}
分离变量：
u du = \frac{dx}{x}
积分：
\frac{1}{2}u^2 = \ln|x| + C_1 \Rightarrow u^2 = 2\ln|x| + C
代回 u = \frac{y}{x}：
\left(\frac{y}{x}\right)^2 = 2\ln|x| + C \Rightarrow y^2 = x^2(2\ln|x| + C)
2.3 一阶线性微分方程
形式：y’ + P(x)y = Q(x)
解法：常数变易法或公式法
通解公式：
y = e^{-\int P(x)dx} \left[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C\right]
例题1：求 y’ + 2xy = 2xe^{-x^2} 的通解。
解：
这里 P(x) = 2x，Q(x) = 2xe^{-x^2}
\int P(x)dx = \int 2x dx = x^2
代入公式：
例题2：求 y’ - \frac{2}{x}y = x^2 满足 y(1) = 0 的特解。
解：
这里 P(x) = -\frac{2}{x}，Q(x) = x^2
\int P(x)dx = \int -\frac{2}{x}dx = -2\ln|x| = \ln(x^{-2})
代入公式：
代入初始条件：0 = 1 + C \Rightarrow C = -1
∴ 特解为 y = x^3 - x^2
2.4 伯努利方程
形式：y’ + P(x)y = Q(x)y^n （n \neq 0, 1）
解法：令 z = y^{1-n}，化为线性方程。
例题：求 y’ + y = xy^2 的通解。
解：
这是 n = 2 的伯努利方程
令 z = y^{1-2} = y^{-1}，则 y = z^{-1}，y’ = -z^{-2}z’
代入：
-z^{-2}z’ + z^{-1} = xz^{-2}
乘以 -z^2：
z’ - z = -x
这是线性方程，P(x) = -1，Q(x) = -x
\int P(x)dx = -x
z = e^{x} \left[\int (-x)e^{-x}dx + C\right]
计算 \int (-x)e^{-x}dx，用分部积分：
令 u = -x，dv = e^{-x}dx，则 du = -dx，v = -e^{-x}
\int (-x)e^{-x}dx = x e^{-x} + \int e^{-x}dx = x e^{-x} - e^{-x} + C_1
∴
z = e^{x} [(x e^{-x} - e^{-x}) + C] = x - 1 + Ce^{x}
代回 z = y^{-1}：
y^{-1} = x - 1 + Ce^{x} \Rightarrow y = \frac{1}{x - 1 + Ce^{x}}
第三章 可降阶的高阶微分方程
3.1 y^{(n)} = f(x) 型
解法：连续积分 n 次
例题：求 y’’’ = \cos x 的通解。
解：
积分：
y’’ = \int \cos x dx = \sin x + C_1
再积分：
y’ = \int (\sin x + C_1)dx = -\cos x + C_1 x + C_2
再积分：
y = \int (-\cos x + C_1 x + C_2)dx = -\sin x + \frac{C_1}{2}x^2 + C_2 x + C_3
3.2 y’’ = f(x, y’) 型（不显含 y）
解法：令 p = y’，则 y’’ = p’，化为一阶方程
例题：求 y’’ - \frac{1}{x}y’ = 0 的通解。
解：
令 p = y’，则 y’’ = p’
代入：
p’ - \frac{1}{x}p = 0
这是可分离变量方程：
\frac{dp}{p} = \frac{dx}{x} \Rightarrow \ln|p| = \ln|x| + C_1 \Rightarrow p = C_1 x
即 y’ = C_1 x
积分：
y = \frac{C_1}{2}x^2 + C_2
3.3 y’’ = f(y, y’) 型（不显含 x）
解法：令 p = y’，则 y’’ = p\frac{dp}{dy}，化为一阶方程
例题：求 y’’ + (y’)^2 = 0 的通解。
解：
令 p = y’，则 y’’ = p\frac{dp}{dy}
代入：
p\frac{dp}{dy} + p^2 = 0 \Rightarrow p\left(\frac{dp}{dy} + p\right) = 0
情况1：p = 0，则 y = C
情况2：\frac{dp}{dy} + p = 0，分离变量：
\frac{dp}{p} = -dy \Rightarrow \ln|p| = -y + C_1 \Rightarrow p = C_2 e^{-y}
即 \frac{dy}{dx} = C_2 e^{-y}，分离变量：
e^y dy = C_2 dx \Rightarrow e^y = C_2 x + C_3
∴ 通解为 y = \ln(C_2 x + C_3)
第四章 二阶常系数线性微分方程
4.1 基本概念
形式：y’’ + py’ + qy = f(x)
其中 p、q 为常数。
- 当 f(x) = 0 时，称为齐次方程
- 当 f(x) \neq 0 时，称为非齐次方程
4.2 二阶常系数齐次线性微分方程
形式：y’’ + py’ + qy = 0
特征方程：r^2 + pr + q = 0
根据特征根的情况：
4.2.1 两个不相等的实根 r_1 \neq r_2
通解：y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}
例题：求 y’’ - 3y’ + 2y = 0 的通解。
解：
特征方程：r^2 - 3r + 2 = 0，根 r_1 = 1，r_2 = 2
∴ 通解：y = C_1 e^x + C_2 e^{2x}
4.2.2 两个相等的实根 r_1 = r_2 = r
通解：y = (C_1 + C_2 x)e^{rx}
例题：求 y’’ + 4y’ + 4y = 0 的通解。
解：
特征方程：r^2 + 4r + 4 = 0，根 r = -2（二重根）
∴ 通解：y = (C_1 + C_2 x)e^{-2x}
4.2.3 一对共轭复根 r = \alpha \pm \beta i
通解：y = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)
例题：求 y’’ + 4y = 0 的通解。
解：
特征方程：r^2 + 4 = 0，根 r = \pm 2i（\alpha = 0，\beta = 2）
∴ 通解：y = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x
4.3 二阶常系数非齐次线性微分方程
形式：y’’ + py’ + qy = f(x)
通解结构：y = Y + y^*
其中 Y 是对应齐次方程的通解，y^* 是非齐次方程的一个特解。
4.3.1 f(x) = P_n(x)e^{\lambda x} 型
特解形式：y^* = x^k Q_n(x)e^{\lambda x}
其中：
- Q_n(x) 是与 P_n(x) 同次的多项式
- k 是特征方程中含根 \lambda 的重数（0, 1, 2）
例题：求 y’’ - 2y’ + y = x e^x 的通解。
解：
对应齐次方程：y’’ - 2y’ + y = 0
特征方程：r^2 - 2r + 1 = 0，根 r = 1（二重根）
齐次通解：Y = (C_1 + C_2 x)e^x
f(x) = x e^x，\lambda = 1，P_1(x) = x
由于 \lambda = 1 是二重特征根，k = 2
设特解：y^* = x^2 (Ax + B)e^x = (Ax^3 + Bx^2)e^x
求导：
\begin{aligned}
y^* &= (Ax^3 + Bx^2)e^x \
(y^)’ &= (3Ax^2 + 2Bx)e^x + (Ax^3 + Bx^2)e^x = [Ax^3 + (3A + B)x^2 + 2Bx]e^x \
(y^)’’ &= [3Ax^2 + 2(3A + B)x + 2B]e^x + [Ax^3 + (3A + B)x^2 + 2Bx]e^x \
&= [Ax^3 + (6A + B)x^2 + (6A + 4B)x + 2B]e^x
\end{aligned}
代入方程：
(y^)’’ - 2(y^)’ + y^* = [6Ax + 2B]e^x = x e^x
比较系数：
6A = 1，2B = 0 ⇒ A = \frac{1}{6}，B = 0
∴ y^* = \frac{1}{6}x^3 e^x
通解：y = (C_1 + C_2 x)e^x + \frac{1}{6}x^3 e^x
4.3.2 f(x) = e^{\alpha x}[P_m(x)\cos\beta x + P_n(x)\sin\beta x] 型
特解形式：y^* = x^k e^{\alpha x}[R_l^{(1)}(x)\cos\beta x + R_l^{(2)}(x)\sin\beta x]
其中 l = \max(m, n)，k 是特征方程中含根 \alpha \pm \beta i 的重数。
第五章 微分方程的应用
5.1 几何应用
例题：求曲线族，使其上任一点处的切线在 y 轴上的截距等于该切点的横坐标。
解：
设曲线为 y = y(x)，在点 (x, y) 处的切线方程：
Y - y = y’(X - x)
在 y 轴上的截距：Y = y - xy’
由题意：y - xy’ = x ⇒ xy’ = y - x
即 y’ - \frac{1}{x}y = -1
这是一阶线性方程，P(x) = -\frac{1}{x}，Q(x) = -1
\int P(x)dx = -\ln|x|
y = e^{\ln|x|} \left[\int (-1)e^{-\ln|x|}dx + C\right] = x \left[-\int \frac{1}{x}dx + C\right] = x(-\ln|x| + C)
5.2 物理应用
例题：RC电路问题。设电阻 R、电容 C、电源电压 E，求电容器上电压 u_C(t) 的变化规律。
解：
根据电路定律：Ri + u_C = E
又 i = C\frac{du_C}{dt}，代入：
RC\frac{du_C}{dt} + u_C = E
即 \frac{du_C}{dt} + \frac{1}{RC}u_C = \frac{E}{RC}
这是一阶线性方程，通解：
u_C = E + Ae^{-\frac{t}{RC}}
设初始条件 u_C(0) = 0，则 0 = E + A ⇒ A = -E
∴ u_C = E(1 - e^{-\frac{t}{RC}})
5.3 人口增长模型
马尔萨斯模型：\frac{dN}{dt} = kN （k > 0）
解：N = N_0 e^{kt}
逻辑斯蒂模型：\frac{dN}{dt} = kN\left(1 - \frac{N}{M}\right)
其中 M 为环境最大容量。
第六章 典型例题解析
例题1：综合题
求 y’’ + y = \cos x 满足 y(0) = 1，y’(0) = 0 的特解。
解：
齐次方程：y’’ + y = 0
特征方程：r^2 + 1 = 0，根 r = \pm i
齐次通解：Y = C_1 \cos x + C_2 \sin x
f(x) = \cos x，\alpha = 0，\beta = 1，P_0(x) = 1，Q_0(x) = 0
由于 \pm i 是特征根，k = 1
设特解：y^* = x(A\cos x + B\sin x)
求导：
\begin{aligned}
(y^)’ &= (A\cos x + B\sin x) + x(-A\sin x + B\cos x) \
(y^)’’ &= (-A\sin x + B\cos x) + (-A\sin x + B\cos x) + x(-A\cos x - B\sin x) \
&= 2(-A\sin x + B\cos x) - x(A\cos x + B\sin x)
\end{aligned}
代入方程：
[2(-A\sin x + B\cos x) - x(A\cos x + B\sin x)] + x(A\cos x + B\sin x) = \cos x
即 2(-A\sin x + B\cos x) = \cos x
比较系数：-2A = 0，2B = 1 ⇒ A = 0，B = \frac{1}{2}
∴ y^* = \frac{1}{2}x\sin x
通解：y = C_1 \cos x + C_2 \sin x + \frac{1}{2}x\sin x
代入初始条件：
y(0) = C_1 = 1
y’ = -C_1 \sin x + C_2 \cos x + \frac{1}{2}\sin x + \frac{1}{2}x\cos x
y’(0) = C_2 = 0
∴ 特解：y = \cos x + \frac{1}{2}x\sin x
例题2：应用题
一质量为 m 的物体在重力和阻力作用下下落，阻力与速度成正比（比例系数 k > 0），求速度随时间的变化规律。
解：
根据牛顿第二定律：m\frac{dv}{dt} = mg - kv
即 \frac{dv}{dt} + \frac{k}{m}v = g
这是一阶线性方程，通解：
v = e^{-\frac{k}{m}t} \left[\int g e^{\frac{k}{m}t}dt + C\right] = e^{-\frac{k}{m}t} \left[\frac{mg}{k} e^{\frac{k}{m}t} + C\right] = \frac{mg}{k} + Ce^{-\frac{k}{m}t}
设初始条件 v(0) = 0，则 0 = \frac{mg}{k} + C ⇒ C = -\frac{mg}{k}
∴ v = \frac{mg}{k}(1 - e^{-\frac{k}{m}t})
本章小结
| 知识点 | 核心内容 | 考查重点 |
|---|---|---|
| 基本概念 | 阶、解、通解、特解 | 概念理解、验证解 |
| 一阶方程 | 可分离变量、齐次、线性、伯努利 | 识别类型、选择方法 |
| 可降阶方程 | 三种可降阶类型 | 降阶方法 |
| 二阶线性 | 齐次通解、非齐次特解 | 特征方程、特解形式 |
| 应用问题 | 几何、物理、生物模型 | 建立微分方程 |
备考建议
- 分类掌握：熟练掌握各类微分方程的识别和解法
- 重视计算：微分方程计算量较大，要细心
- 理解应用：掌握建立微分方程的建模思想
- 综合训练：多做综合性的应用题
- 验证结果：对求得的解进行验证
本文为专升本高等数学系列第六篇，微积分的综合应用
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