无穷级数 | 数海小屋

第一章常数项级数的概念与性质

1.1 无穷级数的定义

定义：给定一个数列，则表达式

称为无穷级数，简称级数，记作。

部分和：级数的前 n 项和

收敛与发散：

如果部分和数列的极限存在（有限），则称级数收敛，S 称为级数的和
如果不存在，则称级数发散

例题：讨论几何级数（等比级数）的敛散性。

解：
部分和：

当时，，级数收敛
当时，，级数发散
当时，，级数发散
当时， $为奇数为偶数$ ，极限不存在，级数发散

1.2 级数的基本性质

性质1：如果级数收敛于和 S，则级数也收敛，且其和为。

性质2：如果级数和分别收敛于 S 和，则级数也收敛，且其和为。

性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的敛散性。

性质4（收敛的必要条件）：如果级数收敛，则。

注意：是级数收敛的必要条件，但不是充分条件！

反例：调和级数虽然通项趋于 0，但它是发散的。

性质5（柯西收敛准则）：级数收敛的充分必要条件是：对于任意给定的，存在正整数 N，使得当时，对任意正整数 p，都有

第二章正项级数及其审敛法

2.1 正项级数的概念

定义：如果（），则称级数为正项级数。

基本定理：正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。

2.2 比较审敛法

定理：设和都是正项级数，且（）

如果收敛，则收敛
如果发散，则发散

极限形式：如果（）

当时，若收敛，则收敛
当时，若发散，则发散

例题：判断级数的敛散性。

解：
当时，
考虑级数，其部分和：

∴ 收敛
由比较审敛法，收敛

2.3 比值审敛法（达朗贝尔判别法）

定理：设为正项级数，且

当时，级数收敛
当（或）时，级数发散
当时，方法失效

例题：判断级数的敛散性。

解：

∴ 级数发散

2.4 根值审敛法（柯西判别法）

定理：设为正项级数，且

当时，级数收敛
当（或）时，级数发散
当时，方法失效

例题：判断级数的敛散性。

解：

∴ 级数收敛

2.5 积分审敛法

定理：设在上非负、单调减少，则级数与广义积分同敛散。

例题：证明 p-级数当时收敛，当时发散。

证明：
当时，在上非负、单调减少

当时积分收敛，级数收敛；当时积分发散，级数发散
当时，，级数发散

第三章任意项级数

3.1 交错级数

定义：如果级数的各项正负相间，即形如

或

则称该级数为交错级数。

莱布尼茨判别法：如果交错级数（）满足：

（）

则级数收敛，且其和，余项

例题：判断交错级数的敛散性。

解：
，且

由莱布尼茨判别法，级数收敛（这个级数称为交错调和级数）

3.2 绝对收敛与条件收敛

定义：

如果级数收敛，则称原级数 绝对收敛
如果级数收敛，但发散，则称原级数条件收敛

定理：绝对收敛的级数必收敛。

例题：讨论级数的敛散性。

解：

当时，收敛，原级数绝对收敛
当时，发散，但原级数满足莱布尼茨条件，条件收敛
当时，通项不趋于 0，级数发散

第四章幂级数

4.1 函数项级数的概念

定义：设是定义在区间 I 上的函数列，则表达式

称为定义在区间 I 上的函数项级数。

收敛域：使函数项级数收敛的 x 的全体构成的集合

和函数：在收敛域上，函数项级数的和是 x 的函数，称为级数的和函数

4.2 幂级数及其收敛性

定义：形如

的函数项级数称为幂级数，其中称为幂级数的系数。

阿贝尔定理：

如果幂级数在（）处收敛，则对满足的一切 x，幂级数绝对收敛
如果幂级数在处发散，则对满足的一切 x，幂级数发散

收敛半径：存在正数 R，使得

当时，幂级数绝对收敛
当时，幂级数发散

R 称为幂级数的收敛半径，称为收敛区间

求收敛半径的方法：如果，则收敛半径

例题：求幂级数的收敛半径和收敛域。

解：

收敛半径

当时，级数为（调和级数），发散
当时，级数为（交错调和级数），收敛

∴ 收敛域为

4.3 幂级数的运算

定理：设幂级数和的收敛半径分别为和，记，则在内有：

加法：
乘法：，其中
逐项求导：
逐项积分：

逐项求导和逐项积分后的幂级数收敛半径不变。

第五章函数展开成幂级数

5.1 泰勒级数

定义：如果函数在点的某邻域内具有任意阶导数，则幂级数

称为函数在处的泰勒级数。

当时，称为麦克劳林级数：

定理：函数在点的某邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是：在该邻域内的泰勒公式中的余项（）

5.2 几个重要的初等函数的幂级数展开

指数函数：
正弦函数：
余弦函数：
自然对数：
二项式展开：

例题：将函数展开成 x 的幂级数。

解：
利用几何级数公式：

令，则

第六章傅里叶级数

6.1 三角级数及三角函数系的正交性

三角级数：形如

的级数称为三角级数。

三角函数系：

正交性：三角函数系中任意两个不同函数的乘积在上的积分为 0。

6.2 傅里叶系数

定理：设是周期为的周期函数，且能展开成三角级数：

则系数为：

这些系数称为傅里叶系数。

6.3 收敛定理（狄利克雷条件）

定理：设是周期为的周期函数，如果它满足：

在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点
在一个周期内至多只有有限个极值点

则的傅里叶级数收敛，且当 x 是的连续点时，级数收敛于；当 x 是的间断点时，级数收敛于

例题：将函数

展开成傅里叶级数。

解：
计算傅里叶系数：

$为奇数为偶数$

∴ 傅里叶级数为：

第七章典型例题解析

例题1：综合判别法

判断级数的敛散性。

解：
由于，所以

考虑级数，用比值判别法：

∴ 收敛
由比较判别法，原级数绝对收敛

例题2：幂级数求和

求幂级数的和函数。

解：
收敛域为

设，则

积分：

当时，级数收敛，且
由连续性，在处和函数也为

∴ 和函数为，

例题3：傅里叶级数应用

将函数（）展开成傅里叶级数。

解：
是奇函数，所以（）

∴ 傅里叶级数为：

本章小结

知识点	核心内容	考查重点
常数项级数	概念、性质、收敛必要条件	概念理解、性质应用
正项级数	比较法、比值法、根值法、积分法	判别法选择、计算
任意项级数	交错级数、绝对收敛、条件收敛	莱布尼茨判别法、敛散性判断
幂级数	收敛半径、收敛域、运算性质	求收敛域、和函数
函数展开	泰勒级数、麦克劳林级数	常见函数的幂级数展开
傅里叶级数	傅里叶系数、收敛定理	系数计算、级数展开