重积分
第一章 二重积分的概念与性质
1.1 二重积分的定义
引例：曲顶柱体的体积问题
设有一立体，它的底是 xOy 平面上的有界闭区域 D，它的侧面是以 D 的边界曲线为准线而母线平行于 z 轴的柱面，它的顶是曲面 z = f(x,y)，其中 f(x,y) \geq 0 且在 D 上连续。这种立体称为曲顶柱体。
定义：设 f(x,y) 是有界闭区域 D 上的有界函数，将区域 D 任意分成 n 个小区域：
\Delta\sigma_1, \Delta\sigma_2, \cdots, \Delta\sigma_n
其中 \Delta\sigma_i 表示第 i 个小区域的面积。在每个小区域 \Delta\sigma_i 上任取一点 (\xi_i, \eta_i)，作和式
\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i) \Delta\sigma_i
如果当各小区域的直径中的最大值 \lambda \to 0 时，这和式的极限存在，且与区域的分法及点 (\xi_i, \eta_i) 的取法无关，则称此极限为函数 f(x,y) 在区域 D 上的二重积分，记作
\iint\limits_{D} f(x,y) d\sigma = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i) \Delta\sigma_i
1.2 二重积分的几何意义
- 当 f(x,y) \geq 0 时，\iint\limits_{D} f(x,y) d\sigma 表示以 D 为底、以曲面 z = f(x,y) 为顶的曲顶柱体的体积
- 当 f(x,y) \leq 0 时，二重积分的值为负，其绝对值为相应曲顶柱体的体积
- 当 f(x,y) 在 D 的若干部分区域上是正的，在其它部分区域上是负的，则二重积分表示各部分区域上曲顶柱体体积的代数和
1.3 二重积分的性质
设 f(x,y)、g(x,y) 在区域 D 上可积：
线性性质：
\iint\limits_{D} [k_1 f(x,y) + k_2 g(x,y)] d\sigma = k_1 \iint\limits_{D} f(x,y) d\sigma + k_2 \iint\limits_{D} g(x,y) d\sigma
区域可加性：如果区域 D 被分成两个无公共内点的区域 D_1 和 D_2，则
\iint\limits_{D} f(x,y) d\sigma = \iint\limits_{D_1} f(x,y) d\sigma + \iint\limits_{D_2} f(x,y) d\sigma
保号性：如果在 D 上 f(x,y) \leq g(x,y)，则
\iint\limits_{D} f(x,y) d\sigma \leq \iint\limits_{D} g(x,y) d\sigma
绝对值不等式：
\left|\iint\limits_{D} f(x,y) d\sigma\right| \leq \iint\limits_{D} |f(x,y)| d\sigma
积分中值定理：如果 f(x,y) 在闭区域 D 上连续，则存在 (\xi, \eta) \in D，使得
\iint\limits_{D} f(x,y) d\sigma = f(\xi, \eta) \cdot \sigma
其中 \sigma 是区域 D 的面积
第二章 二重积分的计算
2.1 利用直角坐标计算二重积分
2.1.1 X型区域
区域 D 可表示为：
D = {(x,y) | a \leq x \leq b, \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x)}
则
\iint\limits_{D} f(x,y) d\sigma = \int_{a}^{b} dx \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y) dy
例题：计算 \iint\limits_{D} xy d\sigma，其中 D 是由直线 y = x 与抛物线 y = x^2 所围成的区域。
解：
先求交点：x = x^2 \Rightarrow x(x-1) = 0 \Rightarrow x = 0, 1
区域 D：0 \leq x \leq 1，x^2 \leq y \leq x
\begin{aligned}
\iint\limits_{D} xy d\sigma &= \int_{0}^{1} dx \int_{x^2}^{x} xy dy = \int_{0}^{1} \left[\frac{1}{2}xy^2\right]{y=x^2}^{y=x} dx \
&= \int{0}^{1} \left(\frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{2}x^5\right) dx = \frac{1}{2} \left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^6}{6}\right]_{0}^{1} \
&= \frac{1}{2} \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{6}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{12} = \frac{1}{24}
\end{aligned}
2.1.2 Y型区域
区域 D 可表示为：
D = {(x,y) | c \leq y \leq d, \psi_1(y) \leq x \leq \psi_2(y)}
则
\iint\limits_{D} f(x,y) d\sigma = \int_{c}^{d} dy \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x,y) dx
例题：计算 \iint\limits_{D} (x+y) d\sigma，其中 D 是由抛物线 y^2 = x 与直线 y = x - 2 所围成的区域。
解：
求交点：y^2 = y + 2 \Rightarrow y^2 - y - 2 = 0 \Rightarrow y = -1, 2
区域 D：-1 \leq y \leq 2，y^2 \leq x \leq y + 2
\begin{aligned}
\iint\limits_{D} (x+y) d\sigma &= \int_{-1}^{2} dy \int_{y^2}^{y+2} (x+y) dx \
&= \int_{-1}^{2} \left[\frac{1}{2}x^2 + xy\right]{x=y^2}^{x=y+2} dy \
&= \int{-1}^{2} \left[\frac{1}{2}(y+2)^2 + y(y+2) - \frac{1}{2}y^4 - y^3\right] dy \
&= \int_{-1}^{2} \left(-\frac{1}{2}y^4 - y^3 + \frac{3}{2}y^2 + 4y + 2\right) dy \
&= \left[-\frac{1}{10}y^5 - \frac{1}{4}y^4 + \frac{1}{2}y^3 + 2y^2 + 2y\right]_{-1}^{2} \
&= \left(-\frac{32}{10} - 4 + 4 + 8 + 4\right) - \left(\frac{1}{10} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 2 - 2\right) \
&= \left(8.8\right) - \left(-0.85\right) = 9.65 = \frac{193}{20}
\end{aligned}
2.2 利用极坐标计算二重积分
当积分区域 D 的边界用极坐标表示较为简单，或被积函数具有形式 f(x^2+y^2)、f\left(\frac{y}{x}\right) 时，使用极坐标计算较为方便。
直角坐标与极坐标的变换：
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad d\sigma = rdrd\theta
二重积分的极坐标形式：
\iint\limits_{D} f(x,y) d\sigma = \iint\limits_{D’} f(r\cos\theta, r\sin\theta) rdrd\theta
2.2.1 几种常见的极坐标区域
原点在区域内部：
D = {(r,\theta) | 0 \leq r \leq R(\theta), 0 \leq \theta \leq 2\pi}
原点在区域边界上：
D = {(r,\theta) | 0 \leq r \leq R(\theta), \alpha \leq \theta \leq \beta}
原点在区域外部：
D = {(r,\theta) | R_1(\theta) \leq r \leq R_2(\theta), \alpha \leq \theta \leq \beta}
例题1：计算 \iint\limits_{D} e^{-x^2-y^2} d\sigma，其中 D 是由圆心在原点、半径为 a 的圆所围成的区域。
解：
在极坐标下：D = {(r,\theta) | 0 \leq r \leq a, 0 \leq \theta \leq 2\pi}
\begin{aligned}
\iint\limits_{D} e^{-x^2-y^2} d\sigma &= \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{a} e^{-r^2} rdr \
&= \int_{0}^{2\pi} \left[-\frac{1}{2}e^{-r^2}\right]{0}^{a} d\theta \
&= \int{0}^{2\pi} \frac{1}{2}(1 - e^{-a^2}) d\theta = \pi(1 - e^{-a^2})
\end{aligned}
例题2：计算 \iint\limits_{D} \sqrt{x^2 + y^2} d\sigma，其中 D 是由圆 x^2 + y^2 = 2x 所围成的区域。
解：
圆的极坐标方程：r = 2\cos\theta
区域 D：-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}，0 \leq r \leq 2\cos\theta
\begin{aligned}
\iint\limits_{D} \sqrt{x^2 + y^2} d\sigma &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{0}^{2\cos\theta} r \cdot rdr \
&= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left[\frac{1}{3}r^3\right]{0}^{2\cos\theta} d\theta \
&= \int{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{8}{3}\cos^3\theta d\theta = \frac{16}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3\theta d\theta \
&= \frac{16}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{32}{9}
\end{aligned}
第三章 三重积分
3.1 三重积分的概念
定义：设 f(x,y,z) 是空间有界闭区域 \Omega 上的有界函数，将 \Omega 任意分成 n 个小区域：
\Delta v_1, \Delta v_2, \cdots, \Delta v_n
其中 \Delta v_i 表示第 i 个小区域的体积。在每个小区域 \Delta v_i 上任取一点 (\xi_i, \eta_i, \zeta_i)，作和式
\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta v_i
如果当各小区域的直径中的最大值 \lambda \to 0 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f(x,y,z) 在区域 \Omega 上的三重积分，记作
\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z) dv = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta v_i
物理意义：当 f(x,y,z) 表示物体在点 (x,y,z) 处的密度时，三重积分表示该物体的质量。
3.2 三重积分的计算
3.2.1 直角坐标下的计算
投影法（先一后二法）：
如果区域 \Omega 可表示为：
\Omega = {(x,y,z) | (x,y) \in D_{xy}, z_1(x,y) \leq z \leq z_2(x,y)}
则
\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z) dv = \iint\limits_{D_{xy}} \left[\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z) dz\right] d\sigma
截面法（先二后一法）：
如果区域 \Omega 可表示为：
\Omega = {(x,y,z) | a \leq z \leq b, (x,y) \in D_z}
则
\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z) dv = \int_{a}^{b} dz \iint\limits_{D_z} f(x,y,z) d\sigma
例题：计算 \iiint\limits_{\Omega} z dv，其中 \Omega 是由锥面 z = \sqrt{x^2 + y^2} 与平面 z = 1 所围成的区域。
解：
用投影法：在 xOy 平面上的投影区域 D_{xy}: x^2 + y^2 \leq 1
区域 \Omega：\sqrt{x^2 + y^2} \leq z \leq 1
\begin{aligned}
\iiint\limits_{\Omega} z dv &= \iint\limits_{D_{xy}} \left[\int_{\sqrt{x^2+y^2}}^{1} zdz\right] d\sigma \
&= \iint\limits_{D_{xy}} \left[\frac{1}{2}z^2\right]{\sqrt{x^2+y^2}}^{1} d\sigma \
&= \iint\limits{D_{xy}} \frac{1}{2}(1 - x^2 - y^2) d\sigma
\end{aligned}
用极坐标：
= \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1} (1 - r^2) rdr = \frac{1}{2} \times 2\pi \times \left[\frac{1}{2}r^2 - \frac{1}{4}r^4\right]_{0}^{1} = \pi \times \frac{1}{4} = \frac{\pi}{4}
3.2.2 柱面坐标下的计算
柱面坐标：
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad z = z, \quad dv = rdrd\theta dz
例题：计算 \iiint\limits_{\Omega} (x^2 + y^2) dv，其中 \Omega 是由曲面 x^2 + y^2 = 2z 与平面 z = 2 所围成的区域。
解：
在柱面坐标下：x^2 + y^2 = r^2，抛物面：z = \frac{r^2}{2}，平面：z = 2
区域 \Omega：0 \leq \theta \leq 2\pi，0 \leq r \leq 2，\frac{r^2}{2} \leq z \leq 2
3.2.3 球面坐标下的计算
球面坐标：
x = \rho\sin\varphi\cos\theta, \quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta, \quad z = \rho\cos\varphi, \quad dv = \rho^2\sin\varphi d\rho d\varphi d\theta
例题：计算 \iiint\limits_{\Omega} \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} dv，其中 \Omega 是球体 x^2 + y^2 + z^2 \leq R^2。
解：
在球面坐标下：\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \rho
区域 \Omega：0 \leq \theta \leq 2\pi，0 \leq \varphi \leq \pi，0 \leq \rho \leq R
\begin{aligned}
\iiint\limits_{\Omega} \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} dv &= \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\pi} d\varphi \int_{0}^{R} \rho \cdot \rho^2\sin\varphi d\rho \
&= \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\pi} \sin\varphi d\varphi \int_{0}^{R} \rho^3 d\rho \
&= 2\pi \times [-\cos\varphi]{0}^{\pi} \times \left[\frac{1}{4}\rho^4\right]{0}^{R} \
&= 2\pi \times 2 \times \frac{R^4}{4} = \pi R^4
\end{aligned}
第四章 重积分的应用
4.1 几何应用
4.1.1 立体的体积
体积公式：
V = \iint\limits_{D} [z_2(x,y) - z_1(x,y)] d\sigma
或
V = \iiint\limits_{\Omega} dv
例题：求由曲面 z = x^2 + y^2 与 z = 2 - x^2 - y^2 所围立体的体积。
解：
两曲面的交线：x^2 + y^2 = 2 - x^2 - y^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1
投影区域 D：x^2 + y^2 \leq 1
体积：
用极坐标：
= 2\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1} (1 - r^2) rdr = 2 \times 2\pi \times \left[\frac{1}{2}r^2 - \frac{1}{4}r^4\right]_{0}^{1} = 4\pi \times \frac{1}{4} = \pi
4.1.2 曲面的面积
设曲面 S 的方程为 z = f(x,y)，(x,y) \in D，且 f(x,y) 在 D 上具有连续偏导数，则曲面面积为
A = \iint\limits_{D} \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} d\sigma
例题：求球面 x^2 + y^2 + z^2 = R^2 的面积。
解：
上半球面：z = \sqrt{R^2 - x^2 - y^2}
偏导数：
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-x}{\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-y}{\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}}
1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2 = 1 + \frac{x^2 + y^2}{R^2 - x^2 - y^2} = \frac{R^2}{R^2 - x^2 - y^2}
投影区域 D：x^2 + y^2 \leq R^2
上半球面积：
A_{\text{上}} = \iint\limits_{D} \frac{R}{\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}} d\sigma
用极坐标：
= \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{R} \frac{R}{\sqrt{R^2 - r^2}} rdr = 2\pi R \left[-\sqrt{R^2 - r^2}\right]_{0}^{R} = 2\pi R^2
整个球面积：A = 2A_{\text{上}} = 4\pi R^2
4.2 物理应用
4.2.1 质心
设物体占有空间区域 \Omega，密度为 \rho(x,y,z)，则质心坐标为：
\bar{x} = \frac{1}{M} \iiint\limits_{\Omega} x\rho dv, \quad \bar{y} = \frac{1}{M} \iiint\limits_{\Omega} y\rho dv, \quad \bar{z} = \frac{1}{M} \iiint\limits_{\Omega} z\rho dv
其中 M = \iiint\limits_{\Omega} \rho dv 为物体的质量。
4.2.2 转动惯量
对于 x 轴、y 轴、z 轴的转动惯量：
I_x = \iiint\limits_{\Omega} (y^2 + z^2)\rho dv, \quad I_y = \iiint\limits_{\Omega} (x^2 + z^2)\rho dv, \quad I_z = \iiint\limits_{\Omega} (x^2 + y^2)\rho dv
第五章 典型例题解析
例题1：交换积分次序
交换积分次序：\int_{0}^{1} dx \int_{x^2}^{x} f(x,y) dy
解：
原积分区域：0 \leq x \leq 1，x^2 \leq y \leq x
即区域 D 由 y = x^2 与 y = x 围成
重新表示为：0 \leq y \leq 1，y \leq x \leq \sqrt{y}
∴ \int_{0}^{1} dx \int_{x^2}^{x} f(x,y) dy = \int_{0}^{1} dy \int_{y}^{\sqrt{y}} f(x,y) dx
例题2：综合题
计算 \iint\limits_{D} |y - x^2| d\sigma，其中 D: -1 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1
解：
曲线 y = x^2 将区域 D 分成两部分：
D_1: y \geq x^2，D_2: y \leq x^2
在 D_1 上：|y - x^2| = y - x^2
在 D_2 上：|y - x^2| = x^2 - y
计算第一个积分：
\int_{-1}^{1} \left[\frac{1}{2}y^2 - x^2 y\right]{y=x^2}^{y=1} dx = \int{-1}^{1} \left(\frac{1}{2} - x^2 - \frac{1}{2}x^4 + x^4\right) dx = \int_{-1}^{1} \left(\frac{1}{2} - x^2 + \frac{1}{2}x^4\right) dx
计算第二个积分：
\int_{-1}^{1} \left[x^2 y - \frac{1}{2}y^2\right]{y=0}^{y=x^2} dx = \int{-1}^{1} \left(x^4 - \frac{1}{2}x^4\right) dx = \int_{-1}^{1} \frac{1}{2}x^4 dx
合计：
\int_{-1}^{1} \left(\frac{1}{2} - x^2 + x^4\right) dx = \left[\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5\right]_{-1}^{1} = 2\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) = \frac{11}{15}
本章小结
| 知识点 | 核心内容 | 考查重点 |
|---|---|---|
| 二重积分概念 | 定义、性质、几何意义 | 概念理解、性质应用 |
| 二重积分计算 | 直角坐标、极坐标 | 积分次序、区域表示 |
| 三重积分 | 直角坐标、柱面坐标、球面坐标 | 坐标选择、积分限确定 |
| 重积分应用 | 体积、曲面面积、物理量 | 公式应用、建模能力 |
| 综合技巧 | 交换积分次序、对称性 | 技巧应用、简化计算 |
备考建议
- 掌握基本方法：熟练掌握各种坐标系下的积分计算
- 培养空间想象：能够准确描述积分区域
- 善用对称性：利用对称性简化计算
- 注重应用：掌握各种几何量和物理量的计算公式
- 综合训练：多做综合性较强的应用题
本文为专升本高等数学系列第九篇，多元积分学的重要内容
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1. 函数与极限
2. 导数与微分
3. 微分中值定理与导数的应用
4. 不定积分
5. 定积分及其应用
6. 微分方程
7. 向量代数与空间解析几何
8. 多元函数微分法及其应用
9. 重积分
10. 下一章：无穷级数