数海小屋

第一章 常数项级数的概念与性质1.1 无穷级数的定义定义：给定一个数列 ，则表达式 称为无穷级数，简称级数，记作 。 部分和：级数的前 n 项和 收敛与发散： 如果部分和数列 的极限 存在（有限），则称级数收敛，S 称为级数的和 如果 不存在，则称级数发散 例题：讨论几何级数（等比级数） 的敛散性。 解：部分和： 当 时，，级数收敛 当 时，，级数发散 当 时，，级数发散 当 时，为奇数为偶数，极限不存在，级数发散 1.2 级数的基本性质性质1：如果级数 收敛于和 S，则级数 也收敛，且其和为 。 性质2：如果级数 和 分别收敛于 S 和 ，则级数 也收敛，且其和为 。 性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的敛散性。 性质4（收敛的必要条件）：如果级数 收敛，则 。 注意： 是级数收敛的必要条件，但不是充分条件！ 反例：调和级数 虽然通项趋于 0，但它是发散的。 性质5（柯西收敛准则）：级数 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的 ，存在正整数 N，使得当 时，对任意正整数 p，都有 第二章 正项级数及其审敛法2.1...

第一章 二重积分的概念与性质1.1 二重积分的定义引例：曲顶柱体的体积问题 设有一立体，它的底是 xOy 平面上的有界闭区域 D，它的侧面是以 D 的边界曲线为准线而母线平行于 z 轴的柱面，它的顶是曲面 z = f(x,y)，其中 f(x,y) \geq 0 且在 D 上连续。这种立体称为曲顶柱体。 定义：设 f(x,y) 是有界闭区域 D 上的有界函数，将区域 D 任意分成 n 个小区域： \Delta\sigma_1, \Delta\sigma_2, \cdots, \Delta\sigma_n 其中 \Delta\sigma_i 表示第 i 个小区域的面积。在每个小区域 \Delta\sigma_i 上任取一点 (\xi_i, \eta_i)，作和式 \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i) \Delta\sigma_i 如果当各小区域的直径中的最大值 \lambda \to 0 时，这和式的极限存在，且与区域的分法及点 (\xi_i, \eta_i) 的取法无关，则称此极限为函数 f(x,y) 在区域 D 上的二重积分，记作 \iint\limit...

第一章 多元函数的基本概念1.1 平面点集邻域：点 P_0(x_0, y_0) 的 delta 邻域 U(P_0, delta) = {(x,y) | sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < delta} 区域： 开集：点点都是内点 闭集：包含所有边界点 区域：连通的开集 闭区域：区域连同它的边界 1.2 多元函数的概念定义：设 D 是 R^2 的一个非空子集，如果对于 D 中每一点 P(x,y)，变量 z 按照某种对应法则 f 总有唯一确定的数值和它对应，则称 f 是定义在 D 上的二元函数，记作 z = f(x,y), quad (x,y) in D 类似地可以定义三元函数 u = f(x,y,z) 等。 定义域：使函数有意义的点的集合 值域：函数值的集合 例题：求函数 z = ln(x+y-1) + sqrt{4-x^2-y^2} 的定义域。 解：需满足： begin{cases}x + y - 1 > 04 - x^2 - y^2 geq 0end{cases}Rightarrowbegin{cases}x + y > 1x^2 ...

第一章 向量及其线性运算1.1 向量的概念向量：既有大小又有方向的量称为向量（或矢量）。 表示方法： 几何表示：有向线段 \overrightarrow{AB}，A 为起点，B 为终点 代数表示：\vec{a}，\vec{b}，\vec{c} 或粗体 \mathbf{a}，\mathbf{b}，\mathbf{c} 向量的模：向量的大小，记作 |\vec{a}| 单位向量：模为 1 的向量 零向量：模为 0 的向量，记作 \vec{0}，方向任意 1.2 向量的线性运算1.2.1 向量的加法三角形法则：\vec{a} + \vec{b} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} 平行四边形法则：以 \vec{a}、\vec{b} 为邻边作平行四边形，对角线为和向量 运算律： 交换律：\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} 结合律：(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})...

第一章 微分方程的基本概念1.1 微分方程的定义定义：含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。 分类： 常微分方程：未知函数是一元函数 偏微分方程：未知函数是多元函数 本章只讨论常微分方程。 1.2 微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。 例题：判断下列微分方程的阶数： y’ + 2y = e^x （一阶） y’’ + 3y’ + 2y = \sin x （二阶） x^2 y’’’ + 2xy’’ + y = 0 （三阶） 1.3 微分方程的解定义：如果一个函数代入微分方程后能使该方程成为恒等式，则称此函数为该微分方程的解。 通解：含有与微分方程的阶数相同个数的独立任意常数的解称为通解。 特解：不含任意常数的解称为特解。通解中的任意常数由初始条件确定后得到的解就是特解。 例题：验证 y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} 是微分方程 y’’ - 3y’ + 2y = 0 的通解。 解：求导： y’ = C_1 e^x + 2C_2 e^{2x}, \quad y’’ = C_1 e^x + 4C_2 e^{2x} 代入方程：...

第一章 定积分的概念与性质1.1 定积分的定义定积分的直观背景是求曲边梯形的面积。 定义：设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上有界，用分点 a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b 将区间 [a, b] 分成 n 个小区间，在每个小区间 [x_{i-1}, x_i] 上任取一点 \xi_i，作和式 \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i 其中 \Delta x_i = x_i - x_{i-1}。如果当最大小区间长度 \lambda = \max{\Delta x_i} \to 0 时，和式的极限存在，且与分法及 \xi_i 的取法无关，则称此极限为函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分，记作 \int_a^b f(x)dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i 其中： a 称为积分下限 b 称为积分上限 [a, b] 称为积分区间 f(x) 称为被积函数 1.2 定积...

第一章 不定积分的概念与性质1.1 原函数与不定积分定义：如果在区间 I 上，可导函数 F(x) 的导函数为 f(x)，即对任一 x in I，都有 F’(x) = f(x) quad text{或} quad dF(x) = f(x)dx 则称 F(x) 为 f(x) 在区间 I 上的一个原函数。 不定积分：函数 f(x) 在区间 I 上的全体原函数称为 f(x) 在 I 上的不定积分，记作 int f(x)dx = F(x) + C 其中： int 称为积分号 f(x) 称为被积函数 f(x)dx 称为被积表达式 x 称为积分变量 C 称为积分常数 1.2 不定积分的几何意义不定积分 int f(x)dx = F(x) + C 表示一族曲线，这族曲线可以由其中任何一条沿 y 轴方向平移而得到。在每条曲线上横坐标相同的点处，切线互相平行。 例题：求过点 (1, 2)，且斜率为 2x 的曲线方程。 解：由题意，y’ = 2x，则 y = int 2xdx = x^2 + C 代入点 (1, 2)：2 = 1^2 + C，得 C = 1∴ 曲线方程为 y = x^2 + 1 1...

第一章 微分中值定理微分中值定理是连接函数与导数之间的桥梁，是微分学的理论基础。 1.1 罗尔定理（Rolle’s Theorem）定理：如果函数 f(x) 满足： 在闭区间 [a, b] 上连续 在开区间 (a, b) 内可导 f(a) = f(b) 则在 (a, b) 内至少存在一点 \xi，使得 f’(\xi) = 0。 几何意义：在曲线弧 \overset{\frown}{AB} 上至少有一点 C，曲线在 C 点处的切线平行于 x 轴。 例题：验证函数 f(x) = x^2 - 2x + 3 在区间 [0, 2] 上满足罗尔定理的条件，并求 \xi。 解： f(x) 是多项式，在 [0, 2] 上连续 f(x) 在 (0, 2) 内可导 f(0) = 3，f(2) = 4 - 4 + 3 = 3，满足 f(0) = f(2) 求导：f’(x) = 2x - 2令 f’(\xi) = 0，得 2\xi - 2 = 0，\xi = 1 \in (0, 2) 1.2 拉格朗日中值定理（Lagrange’s Theorem）定理：如果函数 f(x) 满足： 在闭区间 [...

第一章 导数的概念1.1 导数的定义定义：设函数 y = f(x) 在点 x_0 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 x_0 处取得增量 \Delta x 时，函数取得增量 \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)。如果极限 \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} 存在，则称函数 f(x) 在点 x_0 处可导，并称该极限为函数在点 x_0 处的导数，记作 f’(x_0) 或 \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=x_0}。 1.2 导数的几何意义函数 y = f(x) 在点 x_0 处的导数 f’(x_0) 表示曲线 y = f(x) 在点 (x_0, f(x_0)) 处的切线斜率。 切线方程：y - f(x_0) = f’(x_0)(x - x_0)法线方程：y - f(x_0) = -\frac{1}{f’(x_0)}(x - ...

📚 高等数学核心知识点 本章系统讲解函数的基本概念、性质，极限的定义与计算方法，以及函数连续性的判断准则，是微积分的基础内容，也是专升本考试的重点考查模块。 第一章 函数1.1 函数的概念定义：设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数集。如果对于每个数 x ∈ D，变量 y 按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y = f(x)。 定义域：D 称为函数的定义域 值域：函数值的集合 {y | y = f(x), x ∈ D} 称为函数的值域 1.2 函数的性质1.2.1 奇偶性 奇函数：，图像关于原点对称 偶函数：，图像关于 y 轴对称 例题：判断 ³ 的奇偶性 解： ³³³ ∴ 是奇函数 1.2.2 单调性 单调递增：₁₂₁₂ 单调递减：₁₂₁₂ 1.2.3 周期性存在正数 T，使得 对定义域内任意 x 都成立。 1.3 基本初等函数 1. 幂函数：ᵃ（a 为实数） 2. 指数函数：ˣ（） 3. 对数函数：ₐ（） 4. 三...